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Höhere Mathematik für Ingenieure 1

1 Komplexe Zahlen

Definition 1.1 (Komplexe Zahl)

Eine komplexe Zahl zz ist ein Ausdruck der Form:

z=x+yi=x+iy mit x,yRz=x+yi=x+iy\text{ mit }x,y\in\R

Statt x+0ix+0i schreibt man xx, d.h. reelle Zahlen sind komplexe Zahlen mit Imaginärteil 00. In diesem Sinne ist RC\R\subseteq\cnums.

Außerdem gilt:

PS: auch sin(z),cos(z),ln(z)\sin(z),\cos(z),\ln(z) kann man sinnvoll für komplexe Zahlen definieren

1.1 Grundrechenarten

Für u=a+bi,v=c+diCu=a+bi,v=c+di\in\cnums mit a,b,c,dRa,b,c,d\in\R definiert man:

Satz 1.2

Alle Rechenregeln der reelen Zahlen und die binomischen Formeln gelten auch für komplexe Zahlen.

Wie gewohnt schreiben wir für zC,nNz\in\cnums,n\in\N:

zn:=zzz(n Faktoren),z0:=1,zn:=1zn mit z0z^n:=z\cdot z\cdot\dotsc\cdot z\:\text{(n Faktoren)},\:z^0:=1, z^{-n}:=\frac1{z^n}\text{ mit }z\ne0

1.2 Gaußsche Zahlenebene und Polarkoordinaten

Die Gaußsche Zahlenebene

Eine komplexe Zahl z=x+yiz=x+yi ist ein Punkt (x,y)=(z,z)(x,y)=(\Re z,\Im z) in der Gaußschen Zahlenebene.

Der Betrag einer komplexen Zahl

Definition 1.3

Der Betrag z|z| einer komplexen Zahl z=x+yiz=x+yi ist z=x2+y2\color{red}|z|=\sqrt{x^2+y^2}.

Satz 1.4 (Rechenregeln für Beträge)

Für z,wCz,w\in\cnums gelten:

Satz 1.5 (Rechenregeln für die konjugiert komplexe Zahl)

Für z,wCz,w\in\cnums gelten:

Polarform einer komplexen Zahl

Sei z=x+yiz=x+yi eine komplexe Zahl mit r=zr=|z| als Abstand von 00 zu zz und φ\varphi als Winkel zwischen zz und der positiven reelen Achse im Gegenuhrzeigersinn.

Dann gilt: x=rcos(φ),y=rsin(φ)x=r\cos(\varphi),y=r\sin(\varphi)

Es heißen:

Das Argument ist nur bis auf Vielfache von 2π2\pi festgelegt. Für φ[0;2π)\varphi\in[0;2\pi) spricht man vom Hauptwert des Arguments.]\phantom]

Bestimmung der Polarkoordinaten

Sei zCz\in\cnums eine komplexe Zahl mit kartesischer Form z=x+yiz=x+yi und Polarform z=r(cosφ+sinφ)z=r(\cos\varphi+\sin\varphi). Dann gilt:

Multiplikation in Polarform

Für zwei komplexe Zahlen z,w0z,w\ne0 mit den Polardarstellungen:

z=z(cosφ+isinφ)w=w(cosψ+isinψ) \begin{aligned} z &= |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi) \\ w &= |w|(\cos\psi+i\sin\psi) \end{aligned}

erhalten wir:

zw=z(cosφ+isinφ)w(cosψ+isinψ)=zw(cosφcosψsinφsinψ=cos(φ+ψ)+i(cosφsinψ+sinφcosψ=sin(φ+ψ)))=zw(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ)) \begin{aligned} z\cdot w &= |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\cdot|w|(\cos\psi+i\sin\psi) \\ &= |z||w|(\underbrace{\cos\varphi\cos\psi-\sin\varphi\sin\psi}_{=\cos(\varphi+\psi)}+i(\underbrace{\cos\varphi\sin\psi+\sin\varphi\cos\psi}_{=\sin(\varphi+\psi)})) \\ &= |z||w|(\cos(\varphi+\psi)+i\sin(\varphi+\psi)) \end{aligned}

Merke

1.3 Die komplexe Exponentialfunktion

Eulersche Formel

eiφ:=cosφ+isinφ, mit φRe^{i\varphi}:=\cos\varphi+i\sin\varphi,\text{ mit }\varphi\in\R

Beachte:

Damit vereinfacht sich die Polarform einer komplexen Zahl zz zu:

z=r(cosφ+isinφ)=reiφz=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=r\cdot e^{i\varphi}

Die Darstellung nennt man Eulersche- oder Exponentialform von zz.

Der Einheitskreis

eiπ2=ie^{i\frac\pi2}=i
ei3π2=ie^{i\frac{3\pi}2}=-i
eiπ=1e^{i\pi}=-1
ei2π=1e^{i2\pi}=1

Betrachte zwei komplexe Zahlen in Polardarstellung:

z=z(cosφ+isinφ)=zeiφw=w(cosψ+isinψ)=zeiψ \begin{aligned} z &= |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|z|\cdot e^{i\varphi} \\ w &= |w|(\cos\psi+i\sin\psi)=|z|\cdot e^{i\psi} \end{aligned}

Dann gilt:

zw=zeiφweiψ=zw(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ))=zwei(φ+ψ) \begin{aligned} z\cdot w &=|z|e^{i\varphi}\cdot|w|e^{i\psi} \\ &=|z||w|(\cos(\varphi+\psi)+i\sin(\varphi+\psi)) \\ &=|z||w|e^{i(\varphi+\psi)} \end{aligned}

Satz

Die komplexe Exponentialfunktion erfüllt die gleiche Rechenregel, nämlich

eφ+ψ=eiφeiψe^{\varphi+\psi}=e^{i\varphi}\cdot e^{i\psi}

wie die reele Exponentialfunktion.

Definition 1.6

Für eine komplexe Zahl z=x+yiz=x+yi definieren wir:

ez=exeiy=ex(cosy+isiny)e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot(\cos y+i\sin y)

Für zwei komplexe Zahlen z1=x1+y1iz_1=x_1+y_1i und z2=x2+y2iz_2=x_2+y_2i gilt dann:

ez1+z2=ex1+x2+i(y1+y2)=ex1+x2ei(y1+y2)=ex1ey1iex2ey2i=ez1ez2 \begin{aligned} e^{z_1+z_2} &= e^{x_1+x_2+i(y_1+y_2)} \\ &= e^{x_1+x_2}\cdot e^{i(y_1+y_2)} \\ &= e^{x_1}\cdot e^{y_1i}\cdot e^{x_2}\cdot e^{y_2i} \\ &= e^{z_1}\cdot e^{z_2} \end{aligned}

Satz

Die komplexe Exponentialfunktion erfüllt die gleicher Rechenregel, nämlich

ez1+z2=ez1ez2e^{z_1+z_2}=e^{z_1}\cdot e^{z_2}

wie die reele Exponentialfunktion.

Multiplikation mit eiψe^{i\psi}

Ist z=reiφz=re^{i\varphi} eine komplexe Zahl in Polarform. Dann gilt:

eiφz=eiφreiφ=rei(φ+ψ)e^{i\varphi}\cdot z=e^{i\varphi}\cdot re^{i\varphi}=re^{i(\varphi+\psi)}

Das heißt, die Multiplikation einer komplexen Zahl zz mit eiψe^{i\psi} entspricht gerade der Rotation von zz um den Koordinatenursprung mit dem Winkel ψ\psi gegen den Uhrzeigersinn.

Division einer komplexen Zahl

Wegen:

ei(φψ)eiψ=eiφei(φψ)eiψeiψ=eiφeiψei(φψ)=eiφeiψe^{i(\varphi-\psi)}\cdot e^{i\psi}=e^{i\varphi}\Longrightarrow\frac{e^{i(\varphi-\psi)}\cdot e^{i\psi}}{e^{i\psi}}=\frac{e^{i\varphi}}{e^{i\psi}}\Longrightarrow e^{i(\varphi-\psi)}=\frac{e^{i\varphi}}{e^{i\psi}}

gilt:

Satz

Seien z=zeiφ,w=weiψz=|z|e^{i\varphi},w=|w|e^{i\psi} zwei komplexe Zahlen in Polardarstellung. Dann ist:

Merke

Potenzen komplexer Zahlen (Formel von Moivre)

Für eine komplexe Zahl z=reiφz=re^{i\varphi} gilt:

zn=(reiφ)n=rneinφ,(r(cosφ+isinφ))n=rn(cos(nφ)+isin(nφ))z^n={(re^{i\varphi})}^n=r^ne^{in\varphi},{(r(\cos\varphi+i\sin\varphi))}^n=r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))

Merke

Beim Potenzieren einer komplexen Zahl potenziert man den Betrag und multipliziert den Winkel mit dem Exponenten.
zn=zn,argzn=nargz|z^n|={|z|}^n,\arg z^n=n\arg z

Achtung: Obige Gleichungen gelten nur für nZn\in\Z.

Wurzeln komplexer Zahlen

gegeben: z=reiφz=re^{i\varphi}, gesucht: zn\sqrt[n]{z}

bessere Aufgabe: finde v=teiφv=te^{i\varphi} mit vn=zv^n=z

das bedeutet:

vn=(teiφ)n=tneinφ=reiφ=zv^n={(t\cdot e^{i\varphi})}^n=t^n\cdot e^{in\varphi}=r\cdot e^{i\varphi}=z

Merke

Zu einer komplexen Zahl z=eiφ0z=e^{i\varphi}\ne0 existieren genau nn n-te Wurzeln vk=rneiφ+2πkn mit k=0,,n1v_k=\sqrt[n]r\cdot e^{i\frac{\varphi+2\pi k}n}\text{ mit }k=0,\dotsc,n-1.
Diese bilden ein regelmäßiges n-Eck auf dem Kreis mit Radius rn\sqrt[n]r um 00.

Vergleich Darstellungsformen komplexer Zahlen

kartesisch polar exponentiell
x+yix+yi r(cosφ+isinφ)r(\cos\varphi+i\sin\varphi) reiφre^{i\varphi}
(x1+y1i)(x2+y2i)(x_1+y_1i)(x_2+y_2i) r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2))r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) r1r2ei(φ1+φ2)r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}
(x+yi)n{(x+yi})^n rn(cos(nφ)+isin(nφ))r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)) rneinφr^ne^{in\varphi}
x1+y1ix2+y2i\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} r1r2(cos(φ1φ2)+isin(φ1φ2))\frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)) r1r2ei(φ1φ2)\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}

Mehrfachwinkelformeln und Additionstheoreme

Wir wissen bereits:

eiφ=cosφ+isinφeiφ=cosφisinφ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\\ e^{-i\varphi}=\cos\varphi-i\sin\varphi

cosφ=12(eiφ+eiφ) und sinφ=12i(eiφeiφ)\Longrightarrow\cos\varphi=\frac12(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})\text{ und }\sin\varphi=\frac1{2i}(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})

Mit Hilfe der Potenzgesetze lassen sich daraus trigonometrische Formeln ableiten:

2sinφcosφ=12(eiφ+eiφ)(eiφeiφ)=12i(ei2φ+ei0ei0ei2φ)=sin(2φ) 2\sin\varphi\cos\varphi=\frac12(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})\cdot(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})\\ =\frac1{2i}(e^{i2\varphi}+e^{i0}-e^{i0}-e^{-i2\varphi})=\sin(2\varphi)

1.4 Polynome

Definition 1.7

Ein Polynom vom Grad nn ist eine Funktion der Form:

p(z)=anzn+an1zn1+an2zn2++a2z2+a1z1+a0z0p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+\dotsc+a_{2}z^{2}+a_{1}z^{1}+a_{0}z^{0}

mit den Koeffizienten ak,k=0,,na_k,k=0,\dotsc,n.

Eine Zahl z0Cz_0\in\cnums heißt Nullstelle von pp, falls p(z0)=0p(z_0)=0.

Die Nullstellen quadratischer Polynome

Satz 1.8

Das quadratische Polynom z2+pz+qz^2+pz+q hat genau zwei (möglicherweise gleiche) Nullstellen:

z1/2=p2±p24qz_{1/2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac{p^2}4-q}

Beweis

(zz1)(zz2)=(z+p2xp24qy)(z+p2x+p24qy)=(z+p2)2(p24q)=z2+pz+q\begin{aligned}(z-z_1)(z-z_2)&=\Bigg(\underbrace{z+\frac p2}_{x}-\underbrace{\sqrt{\frac{p^2}4-q}}_{y}\Bigg)\Bigg(\underbrace{z+\frac p2}_{x}+\underbrace{\sqrt{\frac{p^2}4-q}}_{y}\Bigg)\\&={\left(z+\frac p2\right)}^2-\left(\frac{p^2}4-q\right)=z^2+pz+q\end{aligned}

b1=reiφ2 und b2=rei(π+φ2)=reiφ2eiπ=b1b_1=\sqrt r\cdot e^{i\frac\varphi2}\text{ und }b_2=\sqrt r\cdot e^{i(\pi+\frac\varphi2)}=\sqrt r\cdot e^{i\frac\varphi2}\cdot e^{i\pi}=-b_1

z2+pz+q=(zz1)(zz2)z^2+pz+q=(z-z_1)(z-z_2)

Das gilt für Polynome beliebigen Grades!

Polynomdivision

Satz 1.9

Ist p(z)p(z) ein Polynom vom Grad nn und z1z_1 eine Nullstelle von pp. Dann existiert ein Polynom qq vom Grad n1n-1 so, dass

p(z)=(zz1)q(z).p(z)=(z-z_1)\cdot q(z)\text.

Das Polynom qq kann man mittels Polynomdivision bestimmen.

Satz 1.10

Jedes Polynom vom Grad n1n\ge1 besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

Folgerungen:

Binomialkoeffizienten

(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+2xy+y2{(x+y)}^2=(x+y)(x+y)=x^2+2xy+y^2

(x+y)3=(x+y)(x+y)(x+y)=x3+3x2y+3xy2+y3{(x+y)}^3=(x+y)(x+y)(x+y)=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

(x+y)4=(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4{(x+y)}^4=(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4

(x+y)n=1xn+nxn1y+n(n1)2xn2y2++nxyn1+1yn{(x+y)}^n=\textcolor{red}1\cdot x^n+\textcolor{red}n\cdot x^{n-1}y+\textcolor{red}{\frac{n(n-1)}2}\cdot x^{n-2}y^2+\dotsc+\textcolor{red}n\cdot xy^{n-1}+\textcolor{red}1\cdot y^n

Allgemein haben die Koeffizienten die Form:

n(n1)(nk+1)k(k1)1=n!(nk)!k!=:(nk)\frac{n\cdot(n-1)\cdot\dotsc\cdot(n-k+1)}{k\cdot(k-1)\cdot\dotsc\cdot1}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=:\binom nk

Binomischer Lehrsatz

Satz 1.11 (Binomischer Lehrsatz)

(xy)n=k=0n(nk)xnkyk{(x-y)}^n=\sum_{k=0}^n\dbinom nkx^{n-k}y^k

Eigenschaften:

Das Pascalsche Dreieck

Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks lassen sich die Binomialkoeffizienten leicht ablesen:

(00)(10)(11)(20)(21)(22)(30)(31)(32)(33)(40)(41)(42)(43)(44)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66)\binom00\\\binom10\:\:\:\:\:\binom11\\\binom20\:\:\:\:\:\binom21\:\:\:\:\:\binom22\\\binom30\:\:\:\:\:\binom31\:\:\:\:\:\binom32\:\:\:\:\:\binom33\\\binom40\:\:\:\:\:\binom41\:\:\:\:\:\binom42\:\:\:\:\:\binom43\:\:\:\:\:\binom44\\\binom50\:\:\:\:\:\binom51\:\:\:\:\:\binom52\:\:\:\:\:\binom53\:\:\:\:\:\binom54\:\:\:\:\:\binom55\\\binom60\:\:\:\:\:\binom61\:\:\:\:\:\binom62\:\:\:\:\:\binom63\:\:\:\:\:\binom64\:\:\:\:\:\binom65\:\:\:\:\:\binom66

111121133114641151010511615201561\huge1\\1\:\:\:\:\:1\\1\:\:\:\:\:2\:\:\:\:\:1\\1\:\:\:\:\:3\:\:\:\:\:3\:\:\:\:\:1\\1\:\:\:\:\:4\:\:\:\:\:6\:\:\:\:\:4\:\:\:\:\:1\\1\:\:\:\:\:5\:\:\:\:\:10\:\:\:10\:\:\:\:\:5\:\:\:\:\:1\\1\:\:\:\:\:6\:\:\:\:\:15\:\:\:20\:\:\:15\:\:\:\:\:6\:\:\:\:\:1

Beispiel: (xy)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5\to{(x-y)}^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5

1.5 Eine Anwendung

Exkurs: Komplexe Wechselstromrechnung

Im Wechselstromkreis sind die Spannung u(t)u(t) und die Stromstärke i(t)i(t) Kosinuskurven:

i(t)=Imcos(ωt)u(t)=Umcos(ωt+φ) i(t)=I_m\cos(\omega t)\\ u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)

Hierbei sind:

Ursache für die Phasenverschiebung sind verschiedene "Arten" von Widerständen im Wechselstromkreis:

Es müssen also nicht nur die reellen Proportionalitätsfaktoren, sondern auch die Phasenverschiebung beachtet werden.

Trick: Verwende zur Berechnung komplexe Ströme und Spannungen und interpretiere dabei den Realteil:

i(t)=Imeiωt,u(t)=Umei(ωt+φ)i(t)=I_me^{i\omega t},u(t)=U_me^{i(\omega t+\varphi)}

Mit folgenden komplexen Widerständen R\overline R gilt dann das Ohmsche Gesetz u(t)=Ri(t)u(t)=\overline R\cdot i(t) weiter:

Für einen komplexen Widerstand RR bezeichnet man:

Ohmsche Widerstände sind reine Wirkwiderstände, kapazitive und induktive reine Blindwiderstände.

Vorteile der komplexen Wechselstromrechnung

1.6 Testaufgaben

Aufgabe 1: Welche Aussagen sind richtig?

Aufgabe 2: Seien u,vCu,v\in\cnums komplexe Zahlen. Dann gilt

Aufgabe 3: Seien u,vCu,v\in\cnums komplexe Zahlen mit u4=vu^4=v. Dann gilt

Aufgabe 4: Das Polynom p(z)=(z1)(z2+1)p(z)=(z-1)\left(z^2+1\right) hat folgende Nullstellen

Aufgabe 5: Sei p(x)p(x) ein Polynom vom Grad nn in xx und x0x_0 eine Nullstelle. Dann gilt

2 Folgen und Reihen

2.1 Grundbegriffe

Definition 2.1

Eine Zahlfolge a=(an),nNa=(a_n),n\in\N ist eine wohldefinierte, unendliche Liste von Zahlen. Für ein festes nNn\in\N heißt ana_n das nn-te Folgeglied der Folge (an)(a_n).

Wir können eine Zahlenfolge auch als eine Funktion a:NRa:\N\to\R auffassen, die jeder natürlichen Zahl nNn\in\N eine reelle Zahl a(n)=ana(n)=a_n zuordnet.

Achtung: Zahlenfolgen sind niemals durch ihre ersten 5 Glieder bestimmt, sondern immer durch eine Formel oder Bildungsvorschrift.

Explizites Bildungsgesetz

Der Wert ana_n wird mittels einer Gleichung in Abhängigkeit von nn angeben.

Beispiel Glieder Bildungsvorschrift
1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,\dotsc an=na_n=n
1,14,19,116,125,136,1,\frac14,\frac19,\frac1{16},\frac1{25},\frac1{36},\dotsc an=1n2a_n=\frac1{n^2}
1,2,4,8,16,32,64,128,1,2,4,8,16,32,64,128,\dotsc an=2na_n=2^n
1,1,2,2,3,3,4,4,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,\dotsc an={n2falls n geraden+12falls n ungeradea_n=\begin{cases}-\frac n2&\text{falls }n\text{ gerade}\\\frac{n+1}2&\text{falls }n\text{ ungerade}\end{cases}
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,\dotsc an=1a_n=1

Rekursives Bildungsgesetz

Der Wert an+1a_{n+1} wird in Abhängigkeit von ana_n und nn ausgedrückt. Zusätzlich wird a1a_1 angegeben.

Beispiel Glieder Bildungsvorschrift
1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,\dotsc an+1=1+ana_{n+1}=1+a_n
1,14,19,116,125,136,1,\frac14,\frac19,\frac1{16},\frac1{25},\frac1{36},\dotsc ??
1,2,4,8,16,32,64,128,1,2,4,8,16,32,64,128,\dotsc an+1=2ana_{n+1}=2\cdot a_n
1,1,2,2,3,3,4,4,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,\dotsc an={?falls n gerade?falls n ungeradea_n=\begin{cases}?&\text{falls }n\text{ gerade}\\?&\text{falls }n\text{ ungerade}\end{cases}
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,\dotsc an+1=ana_{n+1}=a_n

Gelegentlich greift man in Rekursionsformeln auch auf mehrere vorhergehende Glieder zurück. Drückt man dabei an+ma_{n+m} über an,,an+m1a_n,\dotsc,a_{n+m-1} aus, muss man mm Startwerte angegeben.

Beispiel: Fibonacci Zahlen

Die Rekursionsvorschrift für die Fibonacci-Zahlen:

an+2=an+1+an,a1=1,a2=1a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,a_1=1,a_2=1

erzeugt die Folge:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\dotsc

Diese Folge wurde von Leonardo da Pisa (Fibonacci), ca. 1180-1241, bei der mathematischen Modellierung einer Kaninchenpopulation entdeckt.

Fibonacci gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters.

Anmerkung

Die Umwandlung von expliziter in rekursive Vorschrift und zurück kann schwierig sein. Es gibt Folgen, bei denen nur eine Form oder gar kein Bildungsgesetz bekannt ist.

Beispiel: Folge der Primzahlen

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dotsc

Die Bestimmung des 4242-ten Folgengliedes (181)(181) ist sehr aufwändig.

Visualisierung von Folgen

Darstellung in der Ebene:

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──┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬───►
  │                                                           

Darstellung auf Zahlenstrahl:

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          b2             b4         b6  b5    b3               b1           b0     
          ▄              ▄          ▄   ▄     ▄                ▄            ▄      
──┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────►

Beschränktheit und Monotonie

Eine Folge (an)(a_n) heißt:

Beispiel:

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          ▲                                                                            
          │                                                                            
          │                                                                            
█    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █ 
          │                                                                            
┬────┬────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬▸
          │                                                                            
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                                     │                                        
  █                                  │                                        
       █                             ┤                                        
            █                        │                                        
                 █                   │                                        
                      █              │                                        
                           █         │                                        
──┬────┬────┬────┬────┬────┬────█────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
                                     █                                        
                                     │    █                                   
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                                     ┤                   █                    
                                     │                        █               
                                     │                             █          
                                     │                                  █     
                                     │                                        
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──┬────┬────┬────┬────┬────█────█────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
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  │                                                           

Hinweise zum Rechnen

Eine Folge ist monoton wachsend, d.h. an+1ana_{n+1}\ge a_n, falls:

Eine Folge ist monoton fallend, d.h. an+1ana_{n+1}\le a_n, falls:

2.2 Beispiele von Zahlenfolgen

Arithmetische Folge

Eine Folge (an)(a_n) mit der Eigenschaft an+1an=d=konstanta_{n+1}-a_n=d=\text{konstant} heißt arithmetische Folge. Es gilt:

Zu jeder arithmetischen Folge an=a1+(n1)da_n=a_1+(n-1)d:

Arithmetische Folge zweiter Ordnung

Sei ana_n eine Folge mit Differenzfolge dn=an+1and_n=a_{n+1}-a_n. Dann heißt:

Es gilt dann an=p(n)\color{blue}a_n=p(n) für ein quadratisches Polynom:

p(x)=ax2+bx+cp(x)=ax^2+bx+c

Arithmetische Folge höherer Ordnung

Sei (dn(2))(d_n^{(2)}) Differenzfolge zweiter Ordnung dn(2)=dn+1(2)dn(1)d_n{(2)}=d_{n+1}^{(2)}-d_n^{(1)}. Dann heißt:

Es gilt dann an=p(n)\color{blue}a_n=p(n) für ein Polynom kk-ten Grades:

p(x)=ckxk+ck1xk1+c1x+c0p(x)=c_kx^k+c_{k-1}x^{k-1}+c_1x+\dotsc c_0

Beispiel

an=0,1,8,27,64,125,a_n=0,1,8,27,64,125,\dotsc

d(1)=10,81,278,6427,12564=1,7,19,37,61,d^{(1)}=1-0,8-1,27-8,64-27,125-64=1,7,19,37,61,\dotsc

d(2)=71,197,3719,6137=6,12,18,24,d^{(2)}=7-1,19-7,37-19,61-37=6,12,18,24,\dotsc

d(3)=126,1812,2418=6,6,6,d^{(3)}=12-6,18-12,24-18=6,6,6,\dotsc

an=an3+bn2+cn+da_n=an^3+bn^2+cn+d

Geometrische Folge

Eine Folge (an)(a_n) mit der Eigenschaft an+1an=q=konstant0\frac{a_{n+1}}{a_n}=q=\text{konstant}\ne0 heißt geometrische Folge. Es gilt:

Beispiel

an=1,12,14,18,116,132,164,1128,a_n=1,\frac12,\frac14,\frac18,\frac1{16},\frac1{32},\frac1{64},\frac1{128},\dotsc

q=12,12,12,q=\frac12,\frac12,\frac12,\dotsc

an=1qn1=(12)n1a_n=1-q^{n-1}=(\frac12)^{n-1}

Notiz

Geometrisches Mittel: c=abc=\sqrt{a\cdot b}
Arithmetrisches Mittel: c=a+b2c=\frac{a+b}2

Aufgabe

a) Wie lautet die explizite Bildungsvorschrift der Folge: 23,43,83,163,323,643,\frac23,\frac43,\frac83,\frac{16}3,\frac{32}3,\frac{64}3,\dotsc
an=122na_n=\frac12\cdot2^n

b) Ist an=43n17n+1a_n=\frac{4\cdot3^{n-1}}{7^{n+1}} eine geometrische Folge?
an=43n47n+1=43n3477n=4347=(37)n=qa_n=\frac{4\cdot3^{n-4}}{7^{n+1}}=\frac{4\cdot3^n}{3^4\cdot7\cdot7^n}=\frac4{3^4\cdot7}={\left(\frac37\right)}^n=q
\Box

Graphische Darstellung

Sei (an)(a_n) eine geometrische Folge mit q>0q>0. Dann gilt:

Folgen und Wachstumsprozesse

Arithmetische Folgen werden häufig verwendet, wenn es um einen konstanten Zuwachs (lineares Wachstum) geht.

Geometrische Folgen benutzt man, wenn das Wachstum proportional zur Grundmenge erfolgt (exponentielles Wachstum).

Zinseszins

Was passiert, wenn der Zins pro Quartal ausbezahlt wird?