Stand: 06.10.2024 21:50
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Höhere Mathematik für Ingenieure 1

Höhere Mathematik für Ingenieure 1

1 Komplexe Zahlen

Definition 1.1 (Komplexe Zahl)

Eine komplexe Zahl $z$ ist ein Ausdruck der Form:

$z=x+yi=x+iy\text{ mit }x,y\in\R$

Die Zahl $i$ mit der Eigenschaft $\boxed{i^2=-1}$ heißt imaginäre Einheit

$x=:\Re z$ heißt Realteil von $z$

$y=:\Im z$ heißt Imaginärteil von $z$

Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn die Real- und Imaginärteile übereinstimmer

Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit $\cnums$ bezeichnet

Statt $x+0i$ schreibt man $x$ , d.h. reelle Zahlen sind komplexe Zahlen mit Imaginärteil $0$ . In diesem Sinne ist $\R\subseteq\cnums$ .

Außerdem gilt:

Komplexe Zahlen kann man nicht sortieren!
Es macht keinen Sinn zu schreiben $u>v$ oder $u\ge v$
Ist $\alpha\in\R$ , so bedeutet $u>\alpha$ automatisch dass $u\in\R$
Gleiches gilt für $u\ge\alpha,u\le\alpha,u<\alpha$

PS: auch $\sin(z),\cos(z),\ln(z)$ kann man sinnvoll für komplexe Zahlen definieren

1.1 Grundrechenarten

Für $u=a+bi,v=c+di\in\cnums$ mit $a,b,c,d\in\R$ definiert man:

$u+v:=(a+b)+i(b+d)$

$u-v:=(a-b)+i(b-d)$

$u\cdot v:=(ac-bd)+i(ad+bc)$

$\frac uv=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\text{ mit }v\ne0$

Satz 1.2

Alle Rechenregeln der reelen Zahlen und die binomischen Formeln gelten auch für komplexe Zahlen.

Wie gewohnt schreiben wir für $z\in\cnums,n\in\N$ :

$z^n:=z\cdot z\cdot\dotsc\cdot z\:\text{(n Faktoren)},\:z^0:=1, z^{-n}:=\frac1{z^n}\text{ mit }z\ne0$

1.2 Gaußsche Zahlenebene und Polarkoordinaten

Die Gaußsche Zahlenebene

Eine komplexe Zahl $z=x+yi$ ist ein Punkt $(x,y)=(\Re z,\Im z)$ in der Gaußschen Zahlenebene.

Skalierung: $u=\alpha z\text{ mit }\alpha\in\R$
Negation: $-u$
Addition: $z+v$
Subtraktion: $z-v$
komplexe Konjunktion: $w=\overline z=x-yi$

Der Betrag einer komplexen Zahl

Definition 1.3

Der Betrag $|z|$ einer komplexen Zahl $z=x+yi$ ist $\color{red}|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ .

$|z|$ ist der Abstand von $z$ zum Koordinatenursprung
$|z-v|=|v-z|$ ist der Abstand zwischen $z$ und $v$
$C_r(v)=\{|z-v|=r,z\in\cnums\}$ ist die Kreislinie um $v$ mit dem Radius $r$
$B_r(v)=\{|z-v|\le r,z\in\cnums\}$ ist die Kreisscheibe um $v$ mit dem Radius $r$

Satz 1.4 (Rechenregeln für Beträge)

Für $z,w\in\cnums$ gelten:

$|z|\ge0$

$|z|=0\Harr z=0$

$|z|=|-z|$

$|z\cdot w|=|z|\cdot|w|$

$|z+w|\le|z|+|w|$ (Dreiecksungleichung)

Satz 1.5 (Rechenregeln für die konjugiert komplexe Zahl)

Für $z,w\in\cnums$ gelten:

$\overline{\overline z}=z$

$\overline{z+w}=\overline z+\overline w,\overline{z-w}=\overline z-\overline w$

$\overline{z\cdot w}=\overline z\cdot\overline w,\overline{(\frac zw)}=\frac{\overline z}{\overline w}$

$z\cdot\overline z=|z|^2$

$|\overline z|=|z|$

$\Re z=\frac12\cdot(z+\overline z)$

$\Im z=\frac1{2i}\cdot({z-\overline z})$

$z=\overline z\Harr z\in\R$

Polarform einer komplexen Zahl

Sei $z=x+yi$ eine komplexe Zahl mit $r=|z|$ als Abstand von $0$ zu $z$ und $\varphi$ als Winkel zwischen $z$ und der positiven reelen Achse im Gegenuhrzeigersinn.

Dann gilt: $x=r\cos(\varphi),y=r\sin(\varphi)$

Es heißen:

$(r,\varphi)$ die Polarkoordinaten von $z$
$z=r(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))$ die Polarform von $z$
$r=|z|$ der Betrag von $z$
$\varphi=\arg z$ das Argument von $z$

Das Argument ist nur bis auf Vielfache von $2\pi$ festgelegt. Für $\varphi\in[0;2\pi)$ spricht man vom Hauptwert des Arguments. $\phantom]$

Bestimmung der Polarkoordinaten

Sei $z\in\cnums$ eine komplexe Zahl mit kartesischer Form $z=x+yi$ und Polarform $z=r(\cos\varphi+\sin\varphi)$ . Dann gilt:

$x=r\cos\varphi,y=r\sin\varphi$
$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$
$\varphi=\arctan{\frac yx},\text{ falls }x>0$
$\varphi=\frac\pi2,\text{ falls }x=0\text{ und }x<0$
$\varphi=\frac\pi2,\text{ falls }x=0\text{ und }y>0$
$\varphi=-\frac\pi2,\text{ falls }x=0\text{ und }y<0$

Prüfen Sie immer mit einer Skize, ob der Winkel im richtigen Quadranten liegt!

In vielen Programmiersprachen gibt es eine Funktion $\varphi=\text{atan2}(y,x)$ , welche den Winkel direkt berechnet.

Multiplikation in Polarform

Für zwei komplexe Zahlen $z,w\ne0$ mit den Polardarstellungen:

$\begin{aligned} z &= |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi) \\ w &= |w|(\cos\psi+i\sin\psi) \end{aligned}$

erhalten wir:

$\begin{aligned} z\cdot w &= |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\cdot|w|(\cos\psi+i\sin\psi) \\ &= |z||w|(\underbrace{\cos\varphi\cos\psi-\sin\varphi\sin\psi}_{=\cos(\varphi+\psi)}+i(\underbrace{\cos\varphi\sin\psi+\sin\varphi\cos\psi}_{=\sin(\varphi+\psi)})) \\ &= |z||w|(\cos(\varphi+\psi)+i\sin(\varphi+\psi)) \end{aligned}$

Merke

Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen multiplizieren sich die Beträge und addieren sich die Winkel.

$|z\cdot w|=|z|\cdot|w|,\arg(z\cdot w)=\arg z+\arg w$

1.3 Die komplexe Exponentialfunktion

Eulersche Formel

$e^{i\varphi}:=\cos\varphi+i\sin\varphi,\text{ mit }\varphi\in\R$

Beachte:

$e^{i\cdot0}=\cos0+i\sin0=1=e^0$
$|e^{i\varphi}|=\sqrt{\cos^2\varphi+\sin^2\varphi}=1$

Damit vereinfacht sich die Polarform einer komplexen Zahl $z$ zu:

$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=r\cdot e^{i\varphi}$

Die Darstellung nennt man Eulersche- oder Exponentialform von $z$ .

Der Einheitskreis

Der Einheitskreis $C_1=\{|z|=1,z\in\cnums\}$ ist die Menge aller komplexen Zahlen mit dem Betrag $1$ .
$e^{i\varphi}$ ist die komplexe Zahl auf dem Einheitskreis mit dem Winkel (Argument) $\varphi$ .

$e^{i\frac\pi2}=i$
$e^{i\frac{3\pi}2}=-i$
$e^{i\pi}=-1$
$e^{i2\pi}=1$

Betrachte zwei komplexe Zahlen in Polardarstellung:

$\begin{aligned} z &= |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|z|\cdot e^{i\varphi} \\ w &= |w|(\cos\psi+i\sin\psi)=|z|\cdot e^{i\psi} \end{aligned}$

Dann gilt:

$\begin{aligned} z\cdot w &=|z|e^{i\varphi}\cdot|w|e^{i\psi} \\ &=|z||w|(\cos(\varphi+\psi)+i\sin(\varphi+\psi)) \\ &=|z||w|e^{i(\varphi+\psi)} \end{aligned}$

Satz

Die komplexe Exponentialfunktion erfüllt die gleiche Rechenregel, nämlich

$e^{\varphi+\psi}=e^{i\varphi}\cdot e^{i\psi}$

wie die reele Exponentialfunktion.

Definition 1.6

Für eine komplexe Zahl $z=x+yi$ definieren wir:

$e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot(\cos y+i\sin y)$

Für zwei komplexe Zahlen $z_1=x_1+y_1i$ und $z_2=x_2+y_2i$ gilt dann:

$\begin{aligned} e^{z_1+z_2} &= e^{x_1+x_2+i(y_1+y_2)} \\ &= e^{x_1+x_2}\cdot e^{i(y_1+y_2)} \\ &= e^{x_1}\cdot e^{y_1i}\cdot e^{x_2}\cdot e^{y_2i} \\ &= e^{z_1}\cdot e^{z_2} \end{aligned}$

Satz

Die komplexe Exponentialfunktion erfüllt die gleicher Rechenregel, nämlich

$e^{z_1+z_2}=e^{z_1}\cdot e^{z_2}$

wie die reele Exponentialfunktion.

Multiplikation mit $e^{i\psi}$

Ist $z=re^{i\varphi}$ eine komplexe Zahl in Polarform. Dann gilt:

$e^{i\varphi}\cdot z=e^{i\varphi}\cdot re^{i\varphi}=re^{i(\varphi+\psi)}$

Das heißt, die Multiplikation einer komplexen Zahl $z$ mit $e^{i\psi}$ entspricht gerade der Rotation von $z$ um den Koordinatenursprung mit dem Winkel $\psi$ gegen den Uhrzeigersinn.

Division einer komplexen Zahl

Wegen:

$e^{i(\varphi-\psi)}\cdot e^{i\psi}=e^{i\varphi}\Longrightarrow\frac{e^{i(\varphi-\psi)}\cdot e^{i\psi}}{e^{i\psi}}=\frac{e^{i\varphi}}{e^{i\psi}}\Longrightarrow e^{i(\varphi-\psi)}=\frac{e^{i\varphi}}{e^{i\psi}}$

gilt:

Satz

Seien $z=|z|e^{i\varphi},w=|w|e^{i\psi}$ zwei komplexe Zahlen in Polardarstellung. Dann ist:

$z\cdot w=|z|e^{i\varphi}|w|e^{i\psi}=|z||w|e^{i(\varphi-\psi)}$

$\frac1w=\frac1{|w|e^{i\psi}}=\frac1{|w|}e^{-i\psi}$

$\frac zw=\frac{|z|e^{i\varphi}}{|w|e^{i\psi}}=\frac{|z|}{|w|}e^{i(\varphi-\psi)}$

Merke

Bei der Division zweier komplexer Zahlen dividieren sich die Beträge und subtrahieren sich die Winkel.

$|\frac zw|=\frac{|z|}{|w|},\arg(\frac zw)=\arg z-\arg w$

Potenzen komplexer Zahlen (Formel von Moivre)

Für eine komplexe Zahl $z=re^{i\varphi}$ gilt:

$z^n={(re^{i\varphi})}^n=r^ne^{in\varphi},{(r(\cos\varphi+i\sin\varphi))}^n=r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))$

Merke

Beim Potenzieren einer komplexen Zahl potenziert man den Betrag und multipliziert den Winkel mit dem Exponenten.
$|z^n|={|z|}^n,\arg z^n=n\arg z$

Achtung: Obige Gleichungen gelten nur für $n\in\Z$ .

Wurzeln komplexer Zahlen

gegeben: $z=re^{i\varphi}$ , gesucht: $\sqrt[n]{z}$

bessere Aufgabe: finde $v=te^{i\varphi}$ mit $v^n=z$

das bedeutet:

$v^n={(t\cdot e^{i\varphi})}^n=t^n\cdot e^{in\varphi}=r\cdot e^{i\varphi}=z$

$t=\sqrt[n]r$
$\psi=\frac\varphi n+\frac{k2\pi}nk=0,\dotsc,n-1$

Merke

Zu einer komplexen Zahl $z=e^{i\varphi}\ne0$ existieren genau $n$ n-te Wurzeln $v_k=\sqrt[n]r\cdot e^{i\frac{\varphi+2\pi k}n}\text{ mit }k=0,\dotsc,n-1$ .
Diese bilden ein regelmäßiges n-Eck auf dem Kreis mit Radius $\sqrt[n]r$ um $0$ .

Vergleich Darstellungsformen komplexer Zahlen

kartesisch	polar	exponentiell
$x+yi$	$r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$	$re^{i\varphi}$
$(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)$	$r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))$	$r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$
${(x+yi})^n$	$r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))$	$r^ne^{in\varphi}$
$\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}$	$\frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2))$	$\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}$

Mehrfachwinkelformeln und Additionstheoreme

Wir wissen bereits:

$e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\\ e^{-i\varphi}=\cos\varphi-i\sin\varphi$

$\Longrightarrow\cos\varphi=\frac12(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})\text{ und }\sin\varphi=\frac1{2i}(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})$

Mit Hilfe der Potenzgesetze lassen sich daraus trigonometrische Formeln ableiten:

$2\sin\varphi\cos\varphi=\frac12(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})\cdot(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})\\ =\frac1{2i}(e^{i2\varphi}+e^{i0}-e^{i0}-e^{-i2\varphi})=\sin(2\varphi)$

1.4 Polynome

Definition 1.7

Ein Polynom vom Grad $n$ ist eine Funktion der Form:

$p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+\dotsc+a_{2}z^{2}+a_{1}z^{1}+a_{0}z^{0}$

mit den Koeffizienten $a_k,k=0,\dotsc,n$ .

lineares Polynom: $p(z)=az+b$

quadratisches Polynom: $p(z)=az^2+bz+c$

kubisches Polynom: $p(z)=az^3+bz^2+cz+d$

biquadratisches Polynom: $p(z)=az^4+bz^2+c$

Eine Zahl $z_0\in\cnums$ heißt Nullstelle von $p$ , falls $p(z_0)=0$ .

Die Nullstellen quadratischer Polynome

Satz 1.8

Das quadratische Polynom $z^2+pz+q$ hat genau zwei (möglicherweise gleiche) Nullstellen:

$z_{1/2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac{p^2}4-q}$

Beweis

$\begin{aligned}(z-z_1)(z-z_2)&=\Bigg(\underbrace{z+\frac p2}_{x}-\underbrace{\sqrt{\frac{p^2}4-q}}_{y}\Bigg)\Bigg(\underbrace{z+\frac p2}_{x}+\underbrace{\sqrt{\frac{p^2}4-q}}_{y}\Bigg)\\&={\left(z+\frac p2\right)}^2-\left(\frac{p^2}4-q\right)=z^2+pz+q\end{aligned}$

Ist $a=re^{i\varphi}\ne0$ eine komplexe Zahl. So existieren genau zwei Wurzeln:

$b_1=\sqrt r\cdot e^{i\frac\varphi2}\text{ und }b_2=\sqrt r\cdot e^{i(\pi+\frac\varphi2)}=\sqrt r\cdot e^{i\frac\varphi2}\cdot e^{i\pi}=-b_1$

Diese beiden Wurzeln führen zu den zwei Lösungen der quadratischen Gleichung.
Die Bestimmung der Nullstellen $z_{1/2}$ des Polynoms $z^2+pz+q$ ist äquivalent zu einer Zerlergung in das Produkt zweier linearer Polynome:

$z^2+pz+q=(z-z_1)(z-z_2)$

Das gilt für Polynome beliebigen Grades!

Polynomdivision

Satz 1.9

Ist $p(z)$ ein Polynom vom Grad $n$ und $z_1$ eine Nullstelle von $p$ . Dann existiert ein Polynom $q$ vom Grad $n-1$ so, dass

$p(z)=(z-z_1)\cdot q(z)\text.$

Das Polynom $q$ kann man mittels Polynomdivision bestimmen.

Satz 1.10

Jedes Polynom vom Grad $n\ge1$ besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

Folgerungen:

Ein Polynom $p$ vom Grad $n$ hat genau $n$ Nullstellen $z_1,\dotsc,z_n$ so, dass
$p(z)=\alpha(z-z_1)(z-z_2)\cdot\dotsc\cdot(z-z_n)\text.$
Haben zwei Polynome $p(z)$ und $q(z)$ die gleichen Nullstellen $z_k$ mit den gleichen Vielfachen, dann existiert ein $\alpha\in\cnums$ so, dass $p(z)=\alpha\cdot q(z)$ .
Ist $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsc+a_1z+a_0$ ein Polynom mit reelen Koeffizienten $a_k\in\R$ und $z\in\cnums$ eine komplexe Nullstelle von $p$ .
$\Longrightarrow$ Dann ist auch $\overline z$ eine Nullstelle von $p$ .
$\Longrightarrow$ Komplexe Nullstellen treten immer in Paaren $(z,\overline z)$ auf.

Binomialkoeffizienten

${(x+y)}^2=(x+y)(x+y)=x^2+2xy+y^2$

${(x+y)}^3=(x+y)(x+y)(x+y)=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

${(x+y)}^4=(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$

${(x+y)}^n=\textcolor{red}1\cdot x^n+\textcolor{red}n\cdot x^{n-1}y+\textcolor{red}{\frac{n(n-1)}2}\cdot x^{n-2}y^2+\dotsc+\textcolor{red}n\cdot xy^{n-1}+\textcolor{red}1\cdot y^n$

Allgemein haben die Koeffizienten die Form:

$\frac{n\cdot(n-1)\cdot\dotsc\cdot(n-k+1)}{k\cdot(k-1)\cdot\dotsc\cdot1}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=:\binom nk$

Binomischer Lehrsatz

Satz 1.11 (Binomischer Lehrsatz)

${(x-y)}^n=\sum_{k=0}^n\dbinom nkx^{n-k}y^k$

Eigenschaften:

$0!=1\Longrightarrow\dbinom n0=\dbinom nn=1$
$\dbinom nk=\dbinom n{n-k}$

$2^n={(1+1)}^n=\sum_{k=0}^n\dbinom nk$

Das Pascalsche Dreieck

Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks lassen sich die Binomialkoeffizienten leicht ablesen:

$\binom00\\\binom10\:\:\:\:\:\binom11\\\binom20\:\:\:\:\:\binom21\:\:\:\:\:\binom22\\\binom30\:\:\:\:\:\binom31\:\:\:\:\:\binom32\:\:\:\:\:\binom33\\\binom40\:\:\:\:\:\binom41\:\:\:\:\:\binom42\:\:\:\:\:\binom43\:\:\:\:\:\binom44\\\binom50\:\:\:\:\:\binom51\:\:\:\:\:\binom52\:\:\:\:\:\binom53\:\:\:\:\:\binom54\:\:\:\:\:\binom55\\\binom60\:\:\:\:\:\binom61\:\:\:\:\:\binom62\:\:\:\:\:\binom63\:\:\:\:\:\binom64\:\:\:\:\:\binom65\:\:\:\:\:\binom66$

$\huge1\\1\:\:\:\:\:1\\1\:\:\:\:\:2\:\:\:\:\:1\\1\:\:\:\:\:3\:\:\:\:\:3\:\:\:\:\:1\\1\:\:\:\:\:4\:\:\:\:\:6\:\:\:\:\:4\:\:\:\:\:1\\1\:\:\:\:\:5\:\:\:\:\:10\:\:\:10\:\:\:\:\:5\:\:\:\:\:1\\1\:\:\:\:\:6\:\:\:\:\:15\:\:\:20\:\:\:15\:\:\:\:\:6\:\:\:\:\:1$

Beispiel: $\to{(x-y)}^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$

1.5 Eine Anwendung

Exkurs: Komplexe Wechselstromrechnung

Im Wechselstromkreis sind die Spannung $u(t)$ und die Stromstärke $i(t)$ Kosinuskurven:

$i(t)=I_m\cos(\omega t)\\ u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)$

Hierbei sind:

$t$ - Zeit
$I_m$ - Maximalstrom
$U_m$ - Maximalspannung
$\omega=2\pi f$ - Kreisfrequenz
$f$ - Frequenz (deutsches Netz: $f=50\text{ Hz}$ )
$\varphi$ - Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung

Ursache für die Phasenverschiebung sind verschiedene "Arten" von Widerständen im Wechselstromkreis:

Ohmscher Widerstand $R$ :
$U_m=R\cdot I_m$ , keine Phasenverschiebung
Induktivität $L$ (Spule):
$U_m=\omega\cdot L\cdot I_m$ , Phasenverschiebung $\frac\pi2$ ,
Hintergrund Selbstinduktion / Lenz'sches Gesetz
Kapazität $C$ (Kondensator):
$U_m=\frac1{\omega\cdot C}\cdot I_m$ , Phasenverschiebung $-\frac\pi2$ ,
Hintergrund: fortwährende Ladungs- / Entladungsvorgänge

Es müssen also nicht nur die reellen Proportionalitätsfaktoren, sondern auch die Phasenverschiebung beachtet werden.

Trick: Verwende zur Berechnung komplexe Ströme und Spannungen und interpretiere dabei den Realteil:

$i(t)=I_me^{i\omega t},u(t)=U_me^{i(\omega t+\varphi)}$

Mit folgenden komplexen Widerständen $\overline R$ gilt dann das Ohmsche Gesetz $u(t)=\overline R\cdot i(t)$ weiter:

Ohmscher Widerstand $R\in\R$ :
$u(t)=U_me^{i\omega t}=RI_me^{i\omega t}=R\cdot i(t)$
Induktiver Widerstand $R_L=i\omega L$ :
$u(t)=U_me^{i(\omega t+\frac\pi2)}=i\omega LI_me^{i\omega t}=R_L\cdot i(t)\text{ (beachte: }i=e^{i\frac\pi2}\text)$
Kapazitiver Widerstand $R_C=-i\frac1{\omega C}$ :
$u(t)=U_me^{i(\omega t-\frac\pi2)}=-\frac i{\omega C}I_me^{i\omega t}=R_C\cdot i(t)\text{ (beachte: }-i=e^{-i\frac\pi2}\text)$

Für einen komplexen Widerstand $R$ bezeichnet man:

$\Re R$ als Wirkwiderstand
$\Im R$ als Blindwiderstand

Ohmsche Widerstände sind reine Wirkwiderstände, kapazitive und induktive reine Blindwiderstände.

Vorteile der komplexen Wechselstromrechnung

Das Ohmsche Gesetz gilt wie gewohnt (für die Realteile allein gilt es nicht!)

Phasenverschiebung $\arg(R)$ und Scheinwiderstand $|R|=\frac{U_m}{I_m}$ werden gleichzeitig erfasst

Die Kirchhoff'schen Gesetze und ihre Folgerungen gelten damit auch im Wechselstromkreis, z.B. $R=R_1+R_2$ bzw. $\frac1R=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}$ für Reihen- / Parallelschaltung zweier Widerstände

1.6 Testaufgaben

Aufgabe 1: Welche Aussagen sind richtig?

$i^3=i$

$\arg i=\pi$

$i+\overline i=0$

Aufgabe 2: Seien $u,v\in\cnums$ komplexe Zahlen. Dann gilt

$|u\cdot v|=|u|\cdot|v|$

$\arg-u=\arg u$

$|\overline u|=|u|$

Aufgabe 3: Seien $u,v\in\cnums$ komplexe Zahlen mit $u^4=v$ . Dann gilt

${(\Re u)}^4=\Re v$

$\Re\left(u^4\right)=\Re v$

$\arg u=4\arg v$

Aufgabe 4: Das Polynom $p(z)=(z-1)\left(z^2+1\right)$ hat folgende Nullstellen

$z=1$

$z=-1$

$z=-i$

Aufgabe 5: Sei $p(x)$ ein Polynom vom Grad $n$ in $x$ und $x_0$ eine Nullstelle. Dann gilt

$(x-x_0)\cdot p(x)$ ist ein Polynom vom Grad $n+1$

$p(x_0)=0$

$\frac{p(x)}{x-x_0}$ ist ein Polynom vom Grad $n-1$

2 Folgen und Reihen

2.1 Grundbegriffe

Definition 2.1

Eine Zahlfolge $a=(a_n),n\in\N$ ist eine wohldefinierte, unendliche Liste von Zahlen. Für ein festes $n\in\N$ heißt $a_n$ das $n$ -te Folgeglied der Folge $(a_n)$ .

Wir können eine Zahlenfolge auch als eine Funktion $a:\N\to\R$ auffassen, die jeder natürlichen Zahl $n\in\N$ eine reelle Zahl $a(n)=a_n$ zuordnet.

Achtung: Zahlenfolgen sind niemals durch ihre ersten 5 Glieder bestimmt, sondern immer durch eine Formel oder Bildungsvorschrift.

Explizites Bildungsgesetz

Der Wert $a_n$ wird mittels einer Gleichung in Abhängigkeit von $n$ angeben.

Beispiel Glieder	Bildungsvorschrift
$1,2,3,4,5,6,7,8,\dotsc$	$a_n=n$
$1,\frac14,\frac19,\frac1{16},\frac1{25},\frac1{36},\dotsc$	$a_n=\frac1{n^2}$
$1,2,4,8,16,32,64,128,\dotsc$	$a_n=2^n$
$1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,\dotsc$	$a_n=\begin{cases}-\frac n2&\text{falls }n\text{ gerade}\\\frac{n+1}2&\text{falls }n\text{ ungerade}\end{cases}$
$1,1,1,1,1,1,1,1,\dotsc$	$a_n=1$

Rekursives Bildungsgesetz

Der Wert $a_{n+1}$ wird in Abhängigkeit von $a_n$ und $n$ ausgedrückt. Zusätzlich wird $a_1$ angegeben.

Beispiel Glieder	Bildungsvorschrift
$1,2,3,4,5,6,7,8,\dotsc$	$a_{n+1}=1+a_n$
$1,\frac14,\frac19,\frac1{16},\frac1{25},\frac1{36},\dotsc$	$?$
$1,2,4,8,16,32,64,128,\dotsc$	$a_{n+1}=2\cdot a_n$
$1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,\dotsc$	$a_n=\begin{cases}?&\text{falls }n\text{ gerade}\\?&\text{falls }n\text{ ungerade}\end{cases}$
$1,1,1,1,1,1,1,1,\dotsc$	$a_{n+1}=a_n$

Gelegentlich greift man in Rekursionsformeln auch auf mehrere vorhergehende Glieder zurück. Drückt man dabei $a_{n+m}$ über $a_n,\dotsc,a_{n+m-1}$ aus, muss man $m$ Startwerte angegeben.

Beispiel: Fibonacci Zahlen

Die Rekursionsvorschrift für die Fibonacci-Zahlen:

$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,a_1=1,a_2=1$

erzeugt die Folge:

$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\dotsc$

Diese Folge wurde von Leonardo da Pisa (Fibonacci), ca. 1180-1241, bei der mathematischen Modellierung einer Kaninchenpopulation entdeckt.

Fibonacci gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters.

Anmerkung

Die Umwandlung von expliziter in rekursive Vorschrift und zurück kann schwierig sein. Es gibt Folgen, bei denen nur eine Form oder gar kein Bildungsgesetz bekannt ist.

Beispiel: Folge der Primzahlen

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dotsc$

Die Bestimmung des $42$ -ten Folgengliedes $(181)$ ist sehr aufwändig.

Visualisierung von Folgen

Darstellung in der Ebene:

als Punkte $(n,a_n)$
$x$ -Koordinate ist Index $n$
$y$ -Koordinate ist Wert des $n$ -ten Folgengliedes

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  │                                                           
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  │                                                           
  │                                                           
  │         █                                                 
  ┤                                                           
  │                                                           
  │                                                           
  │              █                                            
  │                                                           
  ┤                   █                                       
  │                        █                                  
  │                             ▀    █    ▄    _    _    _    
  │                                                           
  │                                                           
──┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬───►
  │

Darstellung auf Zahlenstrahl:

als Punkte $(a_n)$
$x$ -Koordinate ist Wert des $n$ -ten Folgengliedes
Index des Folgengliedes muss dazu geschrieben werden

          b2             b4         b6  b5    b3               b1           b0     
          ▄              ▄          ▄   ▄     ▄                ▄            ▄      
──┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────►

Beschränktheit und Monotonie

Eine Folge $(a_n)$ heißt:

beschränkt, wenn $|a_n|\le C$ für ein $C\ge0$
monoton wachsend, wenn $a_n\le a_{n+1}$
streng monoton wachsend, wenn $a_n<a_{n+1}$
monoton fallend, wenn $a_n\ge a_{n+1}$
streng monoton fallend, wenn $a_n>a_{n+1}$

Beispiel:

monoton

          ▲                                                                            
          │                                                                            
          │                                                                            
█    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █    █ 
          │                                                                            
┬────┬────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬▸
          │

streng monoton fallend

                                     ▲                                        
                                     │                                        
  █                                  │                                        
       █                             ┤                                        
            █                        │                                        
                 █                   │                                        
                      █              │                                        
                           █         │                                        
──┬────┬────┬────┬────┬────┬────█────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
                                     █                                        
                                     │    █                                   
                                     │         █                              
                                     │              █                         
                                     ┤                   █                    
                                     │                        █               
                                     │                             █          
                                     │                                  █     
                                     │

monoton wachsend

                                     ▲                                        
                                     ┤                                        
                                     │                             █    █     
                                     │                   █    █               
                                     │         █    █                         
                                     █    █                                   
──┬────┬────┬────┬────┬────█────█────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
                 █    █              │                                        
       █    █                        │                                        
  █                                  │                                        
                                     │

beschränkt

  ▲                                                           
  │                                                           
  ┤                                                           
  │    █                                                      
  │                                                           
  │                                                           
  │                                                           
  ┤                                                           
  │                                                           
  │                                                           
  │                                                           
  │         █                                                 
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  │                                                           
  │                                                           
  │              █                                            
  │                                                           
  ┤                   █                                       
  │                        █                                  
  │                             ▀    █    ▄    _    _    _    
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  │

Hinweise zum Rechnen

Eine Folge ist monoton wachsend, d.h. $a_{n+1}\ge a_n$ , falls:

$a_{n+1}-a_n\ge0$
$\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge1$ und $a_n>0$
$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le1$ und $a_n<0$

Eine Folge ist monoton fallend, d.h. $a_{n+1}\le a_n$ , falls:

$a_{n+1}-a_n\ge0$
$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le1$ und $a_n>0$
$\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge1$ und $a_n<0$

2.2 Beispiele von Zahlenfolgen

Arithmetische Folge

Eine Folge $(a_n)$ mit der Eigenschaft $a_{n+1}-a_n=d=\text{konstant}$ heißt arithmetische Folge. Es gilt:

explizites Bildungsgesetz:
$\color{red}a_n=a_1+(n-1)d$
eine arithmetische Folge ist durch $a_1$ und $d$ eindeutig bestimmt
$a_n$ ist das arithmetische Mittel seiner Nachbarn, d.h. $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$

Zu jeder arithmetischen Folge $a_n=a_1+(n-1)d$ :

existiert ein Polynom ersten Grades
$p(x)=a_1+(x-1)d=a_1+d+dx$ mit $a_n=p(n)$
liegen die Punkte auf einer Geraden mit Anstieg $d$
ist die Differenzfolge $d_n=a_{n+1}-a_n$ konstant, d.h. $d_n=d$

Arithmetische Folge zweiter Ordnung

Sei $a_n$ eine Folge mit Differenzfolge $d_n=a_{n+1}-a_n$ . Dann heißt:

$d_n^{(2)}=d_{n+1}-d_n$ Differenzfolge zweiter Ordnung
$a_n$ arithmetische Folge zweiter Ordnung, falls $d_n^{(2)}=d^{(2)}=\text{konstant}$

Es gilt dann $\color{blue}a_n=p(n)$ für ein quadratisches Polynom:

$p(x)=ax^2+bx+c$

Arithmetische Folge höherer Ordnung

Sei $(d_n^{(2)})$ Differenzfolge zweiter Ordnung $d_n{(2)}=d_{n+1}^{(2)}-d_n^{(1)}$ . Dann heißt:

$d_n^{(k)}=d_{n+1}^{(k-1)}-d_n^{(k-1)}$ Differenzfolge $k$ -ter Ordnung
$(a_n)$ arithmetische Folge $k$ -ter Ordnung, falls $d_n^{(k)}=d=\text{konstant}$

Es gilt dann $\color{blue}a_n=p(n)$ für ein Polynom $k$ -ten Grades:

$p(x)=c_kx^k+c_{k-1}x^{k-1}+c_1x+\dotsc c_0$

Beispiel

$a_n=0,1,8,27,64,125,\dotsc$

$d^{(1)}=1-0,8-1,27-8,64-27,125-64=1,7,19,37,61,\dotsc$

$d^{(2)}=7-1,19-7,37-19,61-37=6,12,18,24,\dotsc$

$d^{(3)}=12-6,18-12,24-18=6,6,6,\dotsc$

$a_n=an^3+bn^2+cn+d$

Geometrische Folge

Eine Folge $(a_n)$ mit der Eigenschaft $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q=\text{konstant}\ne0$ heißt geometrische Folge. Es gilt:

explizites Bildungsgesetz: $\color{red}a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
eine geometrische Folge ist durch $a_1$ und $q$ eindeutig bestimmt
$a_n$ ist das geometrische Mittel seiner Nachbarn, d.h. $a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$

Beispiel

$a_n=1,\frac12,\frac14,\frac18,\frac1{16},\frac1{32},\frac1{64},\frac1{128},\dotsc$

$q=\frac12,\frac12,\frac12,\dotsc$

$a_n=1-q^{n-1}=(\frac12)^{n-1}$

Notiz

Geometrisches Mittel: $c=\sqrt{a\cdot b}$
Arithmetrisches Mittel: $c=\frac{a+b}2$

Aufgabe

a) Wie lautet die explizite Bildungsvorschrift der Folge: $\frac23,\frac43,\frac83,\frac{16}3,\frac{32}3,\frac{64}3,\dotsc$
$a_n=\frac12\cdot2^n$

b) Ist $a_n=\frac{4\cdot3^{n-1}}{7^{n+1}}$ eine geometrische Folge?
$a_n=\frac{4\cdot3^{n-4}}{7^{n+1}}=\frac{4\cdot3^n}{3^4\cdot7\cdot7^n}=\frac4{3^4\cdot7}={\left(\frac37\right)}^n=q$
$\Box$

Graphische Darstellung

Sei $(a_n)$ eine geometrische Folge mit $q>0$ . Dann gilt:

$a_n=a\exp(bn)=a\cdot e^{bn}$
$a=\frac{a_1}q,b=\ln q$

Folgen und Wachstumsprozesse

Arithmetische Folgen werden häufig verwendet, wenn es um einen konstanten Zuwachs (lineares Wachstum) geht.

Geometrische Folgen benutzt man, wenn das Wachstum proportional zur Grundmenge erfolgt (exponentielles Wachstum).

Zinseszins

$K_0$ Anfangskapital
$p$ Zinssatz pro Jahr
$K_1=K_0+p\cdot K_0=(1+p)\cdot K_0$
$K_n=(1+p)^n\cdot K_0$

Was passiert, wenn der Zins pro Quartal ausbezahlt wird?

$K_{\frac14}=(1+\frac p4)\cdot K_0, K_{\frac24}=(1+\frac p4)^2\cdot K_0,\dotsc\Longrightarrow K_{\frac44}=(1+\frac p4)^4\cdot K_0$