Stand: 19.04.2024 05:32
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Definition 1.1 (Komplexe Zahl)
Eine komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form:
- Die Zahl mit der Eigenschaft heißt imaginäre Einheit
- heißt Realteil von
- heißt Imaginärteil von
- Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn die Real- und Imaginärteile übereinstimmer
- Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit bezeichnet
Statt schreibt man , d.h. reelle Zahlen sind komplexe Zahlen mit Imaginärteil . In diesem Sinne ist .
Außerdem gilt:
PS: auch kann man sinnvoll für komplexe Zahlen definieren
Für mit definiert man:
Satz 1.2
Alle Rechenregeln der reelen Zahlen und die binomischen Formeln gelten auch für komplexe Zahlen.
Wie gewohnt schreiben wir für :
Eine komplexe Zahl ist ein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene.
Definition 1.3
Der Betrag einer komplexen Zahl ist .
Satz 1.4 (Rechenregeln für Beträge)
Für gelten:
- (Dreiecksungleichung)
Satz 1.5 (Rechenregeln für die konjugiert komplexe Zahl)
Für gelten:
Sei eine komplexe Zahl mit als Abstand von zu und als Winkel zwischen und der positiven reelen Achse im Gegenuhrzeigersinn.
Dann gilt:
Es heißen:
Das Argument ist nur bis auf Vielfache von festgelegt. Für spricht man vom Hauptwert des Arguments.
Sei eine komplexe Zahl mit kartesischer Form und Polarform . Dann gilt:
- Prüfen Sie immer mit einer Skize, ob der Winkel im richtigen Quadranten liegt!
- In vielen Programmiersprachen gibt es eine Funktion , welche den Winkel direkt berechnet.
Für zwei komplexe Zahlen mit den Polardarstellungen:
erhalten wir:
Merke
- Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen multiplizieren sich die Beträge und addieren sich die Winkel.
Eulersche Formel
Beachte:
Damit vereinfacht sich die Polarform einer komplexen Zahl zu:
Die Darstellung nennt man Eulersche- oder Exponentialform von .
Betrachte zwei komplexe Zahlen in Polardarstellung:
Dann gilt:
Satz
Die komplexe Exponentialfunktion erfüllt die gleiche Rechenregel, nämlich
wie die reele Exponentialfunktion.
Definition 1.6
Für eine komplexe Zahl definieren wir:
Für zwei komplexe Zahlen und gilt dann:
Satz
Die komplexe Exponentialfunktion erfüllt die gleicher Rechenregel, nämlich
wie die reele Exponentialfunktion.
Ist eine komplexe Zahl in Polarform. Dann gilt:
Das heißt, die Multiplikation einer komplexen Zahl mit entspricht gerade der Rotation von um den Koordinatenursprung mit dem Winkel gegen den Uhrzeigersinn.
Wegen:
gilt:
Satz
Seien zwei komplexe Zahlen in Polardarstellung. Dann ist:
Merke
- Bei der Division zweier komplexer Zahlen dividieren sich die Beträge und subtrahieren sich die Winkel.
Für eine komplexe Zahl gilt:
Merke
Beim Potenzieren einer komplexen Zahl potenziert man den Betrag und multipliziert den Winkel mit dem Exponenten.
Achtung: Obige Gleichungen gelten nur für .
gegeben: , gesucht:
bessere Aufgabe: finde mit
das bedeutet:
Merke
Zu einer komplexen Zahl existieren genau n-te Wurzeln .
Diese bilden ein regelmäßiges n-Eck auf dem Kreis mit Radius um .
kartesisch | polar | exponentiell |
---|---|---|
Wir wissen bereits:
Mit Hilfe der Potenzgesetze lassen sich daraus trigonometrische Formeln ableiten:
Definition 1.7
Ein Polynom vom Grad ist eine Funktion der Form:
mit den Koeffizienten .
- lineares Polynom:
- quadratisches Polynom:
- kubisches Polynom:
- biquadratisches Polynom:
Eine Zahl heißt Nullstelle von , falls .
Satz 1.8
Das quadratische Polynom hat genau zwei (möglicherweise gleiche) Nullstellen:
Beweis
Diese beiden Wurzeln führen zu den zwei Lösungen der quadratischen Gleichung.
Die Bestimmung der Nullstellen des Polynoms ist äquivalent zu einer Zerlergung in das Produkt zweier linearer Polynome:
Das gilt für Polynome beliebigen Grades!
Satz 1.9
Ist ein Polynom vom Grad und eine Nullstelle von . Dann existiert ein Polynom vom Grad so, dass
Das Polynom kann man mittels Polynomdivision bestimmen.
Satz 1.10
Jedes Polynom vom Grad besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.
Folgerungen:
Ein Polynom vom Grad hat genau Nullstellen so, dass
Haben zwei Polynome und die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vielfachen, dann existiert ein so, dass .
Ist ein Polynom mit reelen Koeffizienten und eine komplexe Nullstelle von .
Dann ist auch eine Nullstelle von .
Komplexe Nullstellen treten immer in Paaren auf.
Allgemein haben die Koeffizienten die Form:
Satz 1.11 (Binomischer Lehrsatz)
Eigenschaften:
Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks lassen sich die Binomialkoeffizienten leicht ablesen:
Beispiel:
Im Wechselstromkreis sind die Spannung und die Stromstärke Kosinuskurven:
Hierbei sind:
Ursache für die Phasenverschiebung sind verschiedene "Arten" von Widerständen im Wechselstromkreis:
Ohmscher Widerstand :
, keine Phasenverschiebung
Induktivität (Spule):
, Phasenverschiebung ,
Hintergrund Selbstinduktion / Lenz'sches Gesetz
Kapazität (Kondensator):
, Phasenverschiebung ,
Hintergrund: fortwährende Ladungs- / Entladungsvorgänge
Es müssen also nicht nur die reellen Proportionalitätsfaktoren, sondern auch die Phasenverschiebung beachtet werden.
Trick: Verwende zur Berechnung komplexe Ströme und Spannungen und interpretiere dabei den Realteil:
Mit folgenden komplexen Widerständen gilt dann das Ohmsche Gesetz weiter:
Ohmscher Widerstand :
Induktiver Widerstand :
Kapazitiver Widerstand :
Für einen komplexen Widerstand bezeichnet man:
Ohmsche Widerstände sind reine Wirkwiderstände, kapazitive und induktive reine Blindwiderstände.
Vorteile der komplexen Wechselstromrechnung
Das Ohmsche Gesetz gilt wie gewohnt (für die Realteile allein gilt es nicht!)
Phasenverschiebung und Scheinwiderstand werden gleichzeitig erfasst
Die Kirchhoff'schen Gesetze und ihre Folgerungen gelten damit auch im Wechselstromkreis, z.B. bzw. für Reihen- / Parallelschaltung zweier Widerstände
Aufgabe 1: Welche Aussagen sind richtig?
Aufgabe 2: Seien komplexe Zahlen. Dann gilt
Aufgabe 3: Seien komplexe Zahlen mit . Dann gilt
Aufgabe 4: Das Polynom hat folgende Nullstellen
Aufgabe 5: Sei ein Polynom vom Grad in und eine Nullstelle. Dann gilt
- ist ein Polynom vom Grad
- ist ein Polynom vom Grad
Definition 2.1
Eine Zahlfolge ist eine wohldefinierte, unendliche Liste von Zahlen. Für ein festes heißt das -te Folgeglied der Folge .
Wir können eine Zahlenfolge auch als eine Funktion auffassen, die jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zuordnet.
Achtung: Zahlenfolgen sind niemals durch ihre ersten 5 Glieder bestimmt, sondern immer durch eine Formel oder Bildungsvorschrift.
Der Wert wird mittels einer Gleichung in Abhängigkeit von angeben.
Beispiel Glieder | Bildungsvorschrift |
---|---|
Der Wert wird in Abhängigkeit von und ausgedrückt. Zusätzlich wird angegeben.
Beispiel Glieder | Bildungsvorschrift |
---|---|
Gelegentlich greift man in Rekursionsformeln auch auf mehrere vorhergehende Glieder zurück. Drückt man dabei über aus, muss man Startwerte angegeben.
Beispiel: Fibonacci Zahlen
Die Rekursionsvorschrift für die Fibonacci-Zahlen:
erzeugt die Folge:
Diese Folge wurde von Leonardo da Pisa (Fibonacci), ca. 1180-1241, bei der mathematischen Modellierung einer Kaninchenpopulation entdeckt.
Fibonacci gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters.
Die Umwandlung von expliziter in rekursive Vorschrift und zurück kann schwierig sein. Es gibt Folgen, bei denen nur eine Form oder gar kein Bildungsgesetz bekannt ist.
Beispiel: Folge der Primzahlen
Die Bestimmung des -ten Folgengliedes ist sehr aufwändig.
Darstellung in der Ebene:
▲
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┤
│ █
│
│
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┤
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│ █
┤
│
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│ █
│
┤ █
│ █
│ ▀ █ ▄ _ _ _
│
│
──┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬───►
│
Darstellung auf Zahlenstrahl:
b2 b4 b6 b5 b3 b1 b0
▄ ▄ ▄ ▄ ▄ ▄ ▄
──┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────►
Eine Folge heißt:
Beispiel:
▲
│
│
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
│
┬────┬────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬▸
│
▲
│
█ │
█ ┤
█ │
█ │
█ │
█ │
──┬────┬────┬────┬────┬────┬────█────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
█
│ █
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
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▲
┤
│ █ █
│ █ █
│ █ █
█ █
──┬────┬────┬────┬────┬────█────█────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
█ █ │
█ █ │
█ │
│
▲
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┤
│ █
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│
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│ █
┤
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│
│ █
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┤ █
│ █
│ ▀ █ ▄ _ _ _
│
│
──┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬───►
│
Eine Folge ist monoton wachsend, d.h. , falls:
Eine Folge ist monoton fallend, d.h. , falls:
Eine Folge mit der Eigenschaft heißt arithmetische Folge. Es gilt:
explizites Bildungsgesetz:
eine arithmetische Folge ist durch und eindeutig bestimmt
ist das arithmetische Mittel seiner Nachbarn, d.h.
Zu jeder arithmetischen Folge :
existiert ein Polynom ersten Grades
mit
liegen die Punkte auf einer Geraden mit Anstieg
ist die Differenzfolge konstant, d.h.
Sei eine Folge mit Differenzfolge . Dann heißt:
Es gilt dann für ein quadratisches Polynom:
Sei Differenzfolge zweiter Ordnung . Dann heißt:
Es gilt dann für ein Polynom -ten Grades:
Beispiel
Eine Folge mit der Eigenschaft heißt geometrische Folge. Es gilt:
Beispiel
Notiz
Geometrisches Mittel:
Arithmetrisches Mittel:
Aufgabe
a) Wie lautet die explizite Bildungsvorschrift der Folge:
b) Ist eine geometrische Folge?
Sei eine geometrische Folge mit . Dann gilt:
Arithmetische Folgen werden häufig verwendet, wenn es um einen konstanten Zuwachs (lineares Wachstum) geht.
Geometrische Folgen benutzt man, wenn das Wachstum proportional zur Grundmenge erfolgt (exponentielles Wachstum).
Was passiert, wenn der Zins pro Quartal ausbezahlt wird?
Oder monatsweise?
Allgemein, jeden -ten Teil des Jahres:
In einigen Beispielen konnten wir feststellen, dass sich die Folgenglieder für große immer weiter einer festen Zahl nähern. Mathematisch wird dies mit den Begriffen Konvergenz und Grenzwert erfasst.
Konvergenz ist ein grundlegendes Prinzip der Analysis. Der Grenzwertbegriff in seiner modernen Form wurde erstmals durch L. A. Cauchy (französischer Mathematiker, 1789-1857) formuliert.
Eine Zahl heißt Grenzwert der Folge :
Besitzt die Folge einen Grenzwert, so heißt sie konvergent, andernfalls divergent.
Schreibweisen:
▲
│
│ █
│
┤
│ █
│
alp+eps -\ │ █
\---------------------█--------------------------------------
alp ____┤___________________|____▄_________▄_________▄_________▄___
│ | ▀ ▀ ▀
/---------------------|--------------------------------------
alp-eps -/ │ |
│ |
───┬────┬────┼────┬────┬────┬────|────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬───►
│ |
│ n0=n0(eps)
Eine Folge heißt Nullfolge:
Es gilt:
Eine Folge konvergiert genau dann gegen , wenn eine Nullfolge ist
Seien und eine Zahlenfolge mit:
und . Dann gilt:
Für die gebrochen rationale Folge:
gilt:
Für die geometrische Folge gilt:
Obige Aussagen gelten auch für Folgen:
mit beliebigem .
Eine Folge heißt:
bestimmt divergent gegen , wenn zu jedem ein existiert, mit .
bestimmt divergent gegen , wenn zu jedem ein existiert, mit .
Schreibweisen:
Für bestimmt divergente Folgen gelten folgendene Rechenregeln:
Achtung
Die Ausdrücke:
sind unbestimmt und können nicht sinnvoll definiert werden.
Sandwichsatz
Seien drei Folgen mit:
So gilt auch .
Sind Folgen mit:
So gilt:
So gilt:
Addieren wir von einer Zahlenfolge die ersten Glieder, so entstehen Partialsummen:
Die Partialsummen bilden eine neue Folge .
Partialsummen entstehen bei Problemen der Form:
Was ist die Summe der natürlichen Zahlen bis ?
Idee:
Allgemein gilt für die Summe der natürlichen Zahlen bis :
Diese Formel (Kleiner Gauß) war bereits den Babyloniern bekannt und wurde vom 9-jährigen C. F. Gauß bei der Schulaufgabe, die natürlichen Zahlen von bis zu addieren, wiederentdeckt.
Die Summe ist ein Spezialfall einer Partialsumme einer arithmetischen Folge:
Der Trick, Summen von Paaren zu betrachten, liefert:
Mit diesen Formeln kann man Partialsummen beliebiger arithmetischer Folgen bis zur Ordnung 3 ausrechnen.
Die Ordnung der Summenformel ist immer ein höher als die Ordnung der arithmetischen Folge.
Für gilt:
Ist eine geometrische Folge. Dann ist:
Aufgabe: Berechnen Sie den Umfang und Fläche von
Sei eine Zahlenfolge und
die Folge der Partialsummen.
Dann heißt die Reihe
konvergent gegen , wenn
divergent, wenn divergiert
Wert oder Summe der Reihe
Wir wissen für die geometrische Reihe gilt:
Beispiel:
+--+--+-----+------------+------------------------+
| | | 1 | | |
+--+--+ / | | |
| | 32 | | |
+-----+-----+ 1/8 | |
| | | |
| 1/16 | | |
| | | |
+-----------+------------+ 1/2 |
| | |
| | |
| | |
| 1/4 | |
| | |
| | |
| | |
+------------------------+------------------------+
Für heißt die Reihe:
harmonische Reihe.
Es gilt:
ist konvergent für
ist divergent für
ist ein bekannter Trugschluss (Paradoxon) des griechischen Philosophen Zenon von Elea (ca. 490-430 v. Chr.)
Es wird behauptet, dass der Läufer Achilles niemals eine Schildkröte einholen kann, wenn sie einen Vorsprung hat. Folgende Argumentation:
Wenn Achilles den Startpunkt der Schildkröte erreicht hat, hat diese einen neuen (kleineren) Vorsprung gewonnen,
Wenn Achilles diesen neuen Vorsprung aufgeholt hat, ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter vorn usw
Was Zenon damit zeigen wollte, ist aufgrund der Quellenlage unklar. Fakt ist, dass die Vorstellung von Grenzwert und Unendlichkeit in der Antike noch nicht gut ausgeprägt waren.
Weitere Paradoxa:
- Banach Tarski - Paradoxon
Rechenregeln:
Seien und konvergente Reihen.
So gilt:
Die folgenden Kriterien helfen zu entscheiden ob eine Reihe konvergiert und nicht den Wert zu bestimmen.
Notwendiges Konvergenzkriterium
Ist konvergent, so gilt für :
(d.h. ist Nullfolge).
Ist keine Nullfolge so divergiert:
Leibniz-Kriterium:
Ist eine monotone Nullfolge. Dann konvergiert die alternierende Reihe:
Majorantenkriterium:
- konvergent
- konvergent
heißt Majorante von .
Weil divergiert und kleiner als ist, divergiert auch .
Beispiel:
Konvergiert ?
Minorantenkriterium:
- divergent
- divergent
heißt Minorante von
Umgekehrt: Wenn konvergiert und größer als ist, konvergiert auch .
Quotientenkriterium:
Sei . Dann ist
- konvergent, falls
- divergent, falls
Wurzelkriterium:
Sei . Dann ist
- konvergent, falls
- divergent, falls
Für sind die Kriterien nicht anwendbar.
In den Naturwissenschaften tauchen Reihen häufig in der Gestalt von Potenz- und Fourierreihen auf.
Weiterhin behandeln wir im Kapitel Differentialrechnung den Satz von Taylor kennen, der mit Reihenentwicklungen im Zusammenhang steht.
Reihenentwicklungen begrunden u.a. folgende häufig verwendeten Näherungen für betragsmäßig kleine :
Die erste Näherung verwendet man u.a. in der Bewegungsgleichung für das Fadelpendel und erhält damit die typischen Sinusschwingungen.
Die Näherungen in der letzten Zeile beruhen auf geometrischen Reihen. Man kann damit z.B. leichter Überschläge bei manchen Währungsumrechnungen durchführen .
Aufgabe 1: Welche der folgen Bildungsgesetze beschreibt die Folge:
Aufgabe 2: Die Folge ist
- beschränkt
- monoton wachsend
- monoton fallend
Aufgabe 3: Sei eine geometrische Folge. Dann gilt
- ist konvergent
- ist konvergent
Aufgabe 4: Welche der Folgen sind konvergent?
Aufgabe 5: Welche der Reihen sind konvergent?
Aufgabe 6: Welche der Summen sind korrekt?
Die Begriffe Funktion, Abbildung und Transformation bezeichnen alle eine:
- eindeutige Zuordnung von Elementen
- eines Definitionsbereiches zu
- Elementen eines Wertebereichs
Eindeutig meint: Jedem Element wird genau ein zugeordnet.
Schreibweisen:
Eine Abbildung heißt:
- injektiv, falls zu jedem höchstens ein
- surjektiv, falls zu jedem mindestens ein
- bijektiv, falls zu jedem genau ein
Injektiv:
Surjektiv:
Bijektiv:
Die Menge aller angenommenen Werte
heißt Bild von .
Sei und seien
zwei Funktionen. Dann bezeichnet
die Hintereinanderausführung oder Komposition von und .
Damit wohldefiniert ist, muss der Wertebereich von in de Definitionsbereich von enthalten sein.
Seien die Funktionen und so, dass für alle und gilt:
Dann heißt die Umkehrfunktion von . Wir schreiben:
Die Abbildung:
heißt identische Abbildung oder Identität.
Für gilt:
Sei eine Teilmenge. Dann heißt eine Funktion reelle Funktion.
Reelle Funktionen lassen sich durch ihren Graph visualisieren.
Der Graph einer reellen Funktion ist die Menge:
Da Funktionswerte reeller Funktionen vergleichbar sind, lässt sich für reelle Funktionen Monotonie definieren.
Eine reelle Funktion heißt auf einem Intervall :
- monoton wachsend, wenn
- monoton fallend, wenn
- monoton, wenn sie monoton wachsend oder fallend ist
- streng monoton, falls sogar bzw. gilt
Ist bijektiv, so existiert die Umkehrfunktion mit:
Ist ein Punkt des Graphen von dann ist:
ein Punkt des Graphen von , d.h. der Graph von ist der Graph von gespiegelt an der Geraden .
Manche Funktionen sind nicht auf ihrem gesamten Definitionsbereich bijektiv (invertierbar), sondern nur auf einer Teilmenge.
Streng monotone Funktionen sind bijektiv und haben eine Umkehrabbildung.
Ist streng monoton wachsend, so ist auch streng monoton wachsend.
Eine Funktion kann man als eine Deformation des Intervalls auffassen:
Die Komposition zweier Funktionen ist gerade die Hintereinanderausführung der Deformation.
Sei der Graph von . Dann gilt für den Graph der Komposition:
Eine Funktion heißt:
- gerade, falls
- ungerade, falls
Ist gerade, so ist:
Ist ungerade, so ist:
Nur die Funktion ist gerade und ungerade gleichzeitig.
Beispiele:
f(x)=abs(x)
▲
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█ │ █
█ │ █
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█ │ █
█ ┤ █
█ │ █
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█ │ █
█ ┤ █
█ │ █
█ │ █
█ │ █
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f(x)=sin(x*0.2)*10
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┤ ███ ███ ███
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┤ █ █ █ █ █ █
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┤ ████ ███
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│
f(x)=tan(x*0.1)*10
▲
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┤ █
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┤ █
█ │ █
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█ │ █ █
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█ │
█ │
█ │
█ ┤
│
Eine Funktion heißt periodisch, wenn es eine Zahl gibt, so dass:
Die kleinste solche Zahl , heißt Periode von .
Ist periodisch, so gilt auch:
Beispiele:
f(x)=cos(2*x*0.1)*10
▲
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│
███ ████ ███
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█ │ █ █ █ █ █
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█ ┤ █ █ █ █ █
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┤ █ █ █ █ █
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│ █ █ █ █ █
│ ██ █ █ █ █
┤ ███ ███ ████
│
Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, so dass für alle gilt:
Beispiel: (unbeschränkte Funktion)
f(x)=1/x*100
▲
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│ █
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┤ █
│ █
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┤ █
│ █
│ ██
│ ██
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┤ ████
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██ │
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┤
Beispiel: (beschränkte Funktion)
f(x)=sin(2*x*0.1)*10
▲
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┤ ███ ███ ███
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┤ █ █ █ █ █ █
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┬────█────┬────┬────█────┬────┬────┬█───┬────┬────┬─█──┬────┬────┬──█─┬────┬────┬───█►
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█│ █ █ █ █ █
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█ │ █ █ █ █
│ █ █ █ █
┤ ████ ███
│
Eine Funktion heißt stetig in , falls kleine Änderungen in nur zu kleinen Änderungen in führen, d.h.:
Stetigkeit erfordert, dass und kontinuierlich sind, d.h.:
Eine Funktion heißt stetig in , falls für jede Folge gilt:
Eine Funktion heißt stetig, falls sie in jedem Punkt stetig ist.
Die Stetigkeit einer Funktion ist nur in Punkten des Definitionsbereiches definiert. Insbesondere ist eine stetige Funktion.
Beispiel: Stetigkeit (mit Zoom)
f(x)=x*sin(1/(x*.1)) if x != 0 else 0
▲
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████████ │ ████████
███ │ ███
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█ █│█ █
█ │ █
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f(x)=x*sin(1/(x*.01)) if x != 0 else 0
▲
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█ │ █
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█ ┤ █
█ │ █
█ │ █
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█ │ █
█ ┤ █
█ █ │ █ █
█ █ █ │ █ █ █
█ █ █ │ █ █ █
█ █ █ │ █ █ █
█ █ █ ┤ █ █ █
█ █ █ │ █ █ █
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█ █ █ █ █ │ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ ┤ █ █ █ █ █
█ █ █ ██ █ █ │ █ █ ██ █ █ █
█ █ █ ██ █ █ │ ███ ██ █ █ █
█ █ █ █ ███ █ │ █ ██ ██ █ █ █
┬────┬────█────┬────┬────┬█───┬█──█┬███─█─█─█┬█─█─█──█─┬──█─┬────┬────┬───█┬────┬────►
█ █ █ █ █ █ ██┤██ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ │ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ │ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ │ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ │ █ █ █ █ █
█ █ ██ ┤ ██ █ █
█ █ ██ │ ██ █ █
█ █ █ │ █ █ █
█ █ █ │ █ █ █
█ █ │ █ █
█ █ ┤ █ █
█ █ │ █ █
█ █ │ █ █
█ █ │ █ █
█ █ │ █ █
█ █ ┤ █ █
█ █ │ █ █
█ █ │ █ █
█ █ │ █ █
█ █ │ █ █
██ █ ┤ █ ██
█ │ █
│
│
Eine Funktion ist stetig in , falls für jedes ein existiert, so dass für alle mit gilt:
(Hinreichend) kleine Änderungen an den Argumenten führen zu (beliebig) kleinen Änderungen an den Funktionswerten.
Die Funktionswerte lassen sich durch hinreichend feines "Justieren" der Argumente beliebig fein "einstellen".
f(x)=1/(1+e**(-x+3.5))+.21 0.13,22.0 15,30 81,35 0 0 0
▲
│
│
│
│ ████████████████
┤ █████
│ ████
│ ██
│ ██
│ ██
┤ ██
f(eps)+del ---------------------------------█
│ ██|
f(eps) ------------------------------█ |
│ ██| |
f(eps)-del ---------------------------█ | |
│ ██| | |
│ █ | | |
│ ██ | | |
│ █ | | |
┤ ██ | | |
│ ██ | | |
│ ███ | | |
│ ████ | | |
│ ██████ | | |
██████████████████ | | |
│ | | |
│ | | |
│ | | |
│ | | |
┬────┬────┬────┼────┬────┬────┬────┬────┬|──|┬─|──┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
│ | | |
│ eps-del -/ | \- eps+del
│ eps
│
Sind stetig in . Dann sind auch:
stetig in .
Ist stetig in und ist in , so ist stetig in .
Wichtige stetige Funktionen:
Eine Zahl heißt Grenzwert der Funktion im Punkt , wenn für alle Folgen gilt:
Schreibweise:
Die Definition lässt sich auf die Fälle und erweitern.
Ist stetig in , so ist:
Beispiele:
Eine Zahl heißt linksseitiger Grenzwert von im Punkt , wenn für alle Folgen gilt:
Schreibweise:
Eine Zahl heißt rechtsseitiger Grenzwert von im Punkt , wenn für alle Folgen gilt:
Schreibweise:
Beispiele:
Seien disjunktive Teilmengen. Dann definiert:
eine Funktion welche:
- auf mit
- auf mit
übereinstimmt.
Eine (stückweise definierte) Funktion ist genau dann stetig in , wenn:
existieren und übereinstimmen.
Beispiele:
f(x)=1+x*.1 if x<0 else (x*.1)**2+1
▲
│
│
│ █
│ █
┤ ██
│ █
│ ██
│ █
│ ██
┤ █
│ ██
│ ██
│ ██
│ ██
┤ ███
│ ███
│ ███
│ █████
████████████
┬────┬────┬────┬────┬────███████████────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
█████████ │
███████████ │
█████ │
│
f(x)=1+3*x*.1 if x<0 else (x*.1)**2+3**2
▲
│ █
│ █
│ ██
│ ██
┤ ██
│ ██
│ ███
│ ███
│ ███
┤ █████
████████
│
│
│
┤
│
│
│
█│
┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────████─┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
███ │
███ │
███ │
████ │
███ ┤
████ │
███ │
███ │
███ │
████ ┤
██ │
│
Ein , wo die Funktion nicht stetig ist, heißt Unstetigkeitsstelle von . Ob eine Sprung- oder Polstelle eine Unstetigkeitsstelle von ist, hängt davon ab, ob im Definitionsbereich von liegt.
Existieren beide einseitigen Grenzwerte:
und sind endlich, aber verschieden, so nennt man eine Sprungstelle von .
Gilt mindestens eine der Beziehungen:
so nennt man eine Polstelle von .
Sprungstellen:
- Ein- und Ausschaltvorgänge
- Materialparameter an Materialgrenzen
Polstellen:
- Gravitations-Kraft:
- Coulomb-Kraft:
- zugehörige Potenziale
Sprung und Polstellen in einem mathematischen Modell sind oft kritische Punkte und sollten genau untersucht werden.
Sei ein Intervall und eine stetige Funktion. Dann ist das Bild:
ebenfalls ein Intervall.
Beispiel:
f(x)=x**2*.01
▲
│
█ │ █
█ ┤ █
██ │ ██
█ │ █
██ │ ██
█ │ █
██ ┤ ██
----------█-----------------------------│-----------------------------█
██ A │ ██|
██ | │ ██ |
██ | │ ██ |
-----------------██ f(I) | ┤ ██ |
| ███ | │ ███ |
| ███ | │ ███ |
| ███ | │ ███ |
| █████ V │ █████ |
┬────┬────┬────┬─|──┬────┬────┬──███████████████──┬────┬────┬────┬────|────┬────▸
a │ b
| |
|<-------------------------------------------------->|
| I=[a,b] |
Zwischenwertsatz:
Ist stetig, dann gibt es zu jedem , das zwischen und liegt, ein mit .
Fun-Fact: Einen kippelnden Tisch muss man maximal um drehen, damit dieser nicht mehr kippelt; wenn der Untergrund stetig ist.
Nullstellensatz:
Ist stetig, und , so hat mindestens eine Nullstelle in .
Intervallhalbierungsverfahren:
for do
if then
else
end if
end for
Problem: Löse
f(x)=x*.1+e**x*.001
▲
│
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ ██
┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────██████████┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
██████████ │
██████████ │
██████████ │
█████ │
┤
Ist ein Intervall und stetig. Dann ist genau dann streng monoton, wenn invertierbar ist.
Die Umkehrfunktion:
ist dann ebenfalls stetig.
Die Aussage gilt nicht für mehrdimensionale Funktionen.
Ist stetig, dann gibt es:
- ein mit
- ein mit
Kurz: Eine stetige Funktion nimmt auf Maximum und Minimum an.
Die Aussage wird falsch, wenn der Definitionsbereich von unbeschränkt oder nicht abgeschlossen ist.
Beispiel:
f(x)=x**2*.03
▲
│
█ │ █
█ ┤ █
█ │ █
█ │ █
█ │ █
█ │ █
█ ┤ █
█ │ y_max -\ █
█ │ \ █
█ │ #
█ │ █|
█ ┤ █ |
█ │ █ |
█ │ █ |
█ │ █ |
█ │ █ |
█ ┤ █ |
██ │ ██ |
█ │ █ |
|██ │ ██ |
| ███ │ ███ |
┬────┬────┬────┬────┬────┬────|────┬████#████┬────┬────┬────|────┬────┬────┬────▸
-2 │\ 4
| \- y_min |
| |
|<--------------------------->|
| I=[-2,4] |
Eine Funktion
heißt (gebrochen) rationale Funktion mit:
- Zählerpolynom:
- Nennerpolynom:
Annahme: Nullstellen von Nullstellen von
Beispiel:
f(x)=(5*(x*.1-2)*(x*.1-27/5)) / (x*.1*(x*.1-3)**2)
▲
│
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ ██
┤ █
│ ██
│ ██ Nullstelle
│ ██ /- Nullstelle \
│ ██ / \
┬────┬────┬────┬────┬────┼────┬────┬────┬────#────┬────┬────┬────┬────┬───#██████
│ █ █████
██ │ █ ██
███████ │ █ █
███ │ █ █
███ ┤ █ █
█ │ █ █
█ │ █ █
█ │ █ █
█ │ █ █
█ ┤ █ █
█ │ █ █
█ │ █ █
█ │ █ █
█ │ █ █
█ ┤ █ █
█ │ █ █
█ │ █
█ │ █
█ │ █
┤
Für können wir mit Rest dividieren:
Beispiel:
die Asymptote ist hier der
#
-Graph
f(x)=((x*.2)**3-(x*.2)**2+5) / (5*x*.2-5)
▲
│
│ █
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤ █
# │ █
█# │ █ █
█## │ █ ██#
██## │ █ ██##
██## ┤ █ █##
██## │ █ ██#
██## │ █ ██##
██## │ █ ██##
██## │ █ ███##
██### ┤ █ ███###
███### │ █ ███###
███#### │ █ ████###
████###### │ ████████####
████ ###### │ #############
┬────┬────┬────┬────┬────┬────███████─#####──┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
█████
│ ██
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤
Die Exponentialfunktion ist durch:
definiert.
Für alle gilt:
Anwendungen:
- Wachstums- und Zerfallsprozesse
- Verformungsprozesse
█ f(x)=e**(x*.1)
# g(x)=-e**(x*.1)+30
▲
│
│ █
┤ █
########## █
│ ##### █
│ ### █
│ ### █
┤ ## █
│ # █
│ ## █
│ # █
│ # █
┤ # █
│ # █
│ # █
│ # █
│ #█
┤ #
│ █#
│ █ #
│ █ #
│ █ #
┤ █ #
│ █ #
│ █ #
│ ██ #
│ █ #
┤ ██ #
│ ███ #
│ ███ #
│ █████ #
██████████ #
┬────┼────┬────┬────┬────┬────┬────┬───#┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
│ #
│
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion heißt natürlicher Logarithmus.
Für alle und gilt:
Anwendungen:
Logarithmen werden häufig benutzt, wenn Beobachtungsgrößen über viele Größenordnungen variieren.
- Schalldruckpegel
- pH-Wert
- Richter-Skala
- Leuchtstärke
f(x)=log(x*.1)*5
▲
│
┤ █████████
│ ████████████
│ ██████████
│ ████████
│ ██████
┤ ██████
│ ████
│ ████
│ ███
│ ██
┬────┼────┬────██───┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────▸
│ ██
│ █
│ ██
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤█
│█
│█
│
dB | Vergleichbare Lautstärke |
---|---|
Flüstern, eigenes Atemgeräusch | |
Blätterrascheln | |
Im Wohnraum bei geschlossenem Fenster | |
Wohnviertel ohne Straßenverkehr | |
Unterhaltung (Einzelgespräch) | |
Großraumbüro | |
Mittlerer Straßenverkehr | |
Schwerlastverkehr | |
Presslufthammer | |
Rock-/Popkonzert ( mit einigem Abstand zur Bühne) | |
startender Düsenjet in 100 m Entfernung | |
Schmerzgrenze | |
Düsentriebwerk in 25 Metern Entfernung |
Ein exponentieller Zusammenhang wird auch durch:
in einen linearen Zusammenhang übersetzt.
Anwendungen:
- Coronazahlen
- Aktienkurse
Der polynomiale Zusammenhang zwischen den abhängigen Daten wird durch:
in einen linearen Zusammenhang übersetzt.
Anwendungen:
- Strahlenintensität / Entfernung
- Bode-Diagramm
█ f(x)=sin(2*x*0.09)*10
# g(x)=cos(2*x*0.09+2*pi)*10
▲
│
│
### ███ ### ████ ###
# ## ██ █ ## │ ## █ █ ## #
# #█ █ # │ #█ █ # # █
# # █ # │ # █ # #
# █# █ # │ █# █ # █ #
█ # █ # ┤ █ # █ # █
█ # █ # │ █ # █ # █
█ # █ # │ █ # █ # █
█ # █ # │█ # █ # █
█ # █ # █ # █ # █
┬────█────┬───#┬────┬─█──┬────┬#───┬────█────┬───#┬────┬──█─┬────┬#───┬────█────▸
█ # █ # █ # █ # █
█ # █ # █│ # █ # █
█ # █ # █ │ # █ # █
█ # █ # █ │ # █ # █
█ # █ # █ ┤ # █ # █
█ # █ # █ │ # █# █
█ # # █ │ # # █
█ # # █ █ │ # # █ █
# # █ █ │ # # █ ██
#### ████ ┤ #### ███
│
│
Der Tangens und Kotangens von sind:
Eigenschaften:
█ f(x)=tan(x*0.1)*5
# g(x)=cot(x*0.1)*5
▲
│
█ │ █
█ │ █
# █ │ █
# █ ┤ █
# █ │ █
# █ │ █
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ ┤ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ ┤ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ ┤ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ ┤ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
# █ ┤ # █ #
# █ │ # █ #
# █ │ # █ #
#█ │ # █ # █
# │ # #
█ ## ┤ █ # █ #
█ # │ ██ ## █
██ ## │ ██ # ██
██ ## │██ ## ██
┬────┬──██┬────┬────┬───##────┬────┬────█────┬────┬────##───┬────┬────┬██──┬────▸
██ ## ██┤ ## ██
██ # ██ │ ## ██
█ ## ██ │ # █
# █ # █ │ ## █
# # │ #
█ # █ # ┤ █#
# █ # │ █ #
# █ # │ █ #
# █ # │ █ #
# █ # │ █ #
# █ # ┤ █ #
# █ # │ █ #
# █ # │ █ #
# █ # │ █ #
# █ # │ █ #
# █ # ┤ █ #
# █ # │ █ #
# █ # │ █ #
# █ # │ █ #
# █ # │ █ #
# █ # ┤ █ #
# █ # │ █ #
# █ # │ █ #
# █ # │ █ #
# █ │ █ #
# █ ┤ █ #
# █ │ █ #
# █ │ █ #
# █ │ █ #
# │ █ #
┤ █ #
│ █ #
│ █ #
│ █ #
│ █
┤ █
│ █
│ █
│
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen nennt man Arkusfunktionen.
Arkussinus:
Arkuscosinus:
█ f(x)=asin(x*.05)*10
# g(x)=acos(x*.05)*10
▲
│
pi -#--------------------
# ┤
|# │
|# │
| # │
| # │
| # ┤
| # │
| ## │
| ## │
| # │
| ## ┤
| ## │
| ## │
| ## │
| ##
| ┤##
pi/2 -|----------------------##--------------█
| │ ## █
| │ ## █|
| │ # █|
| ┤ ## █ |
| │ ## █ |
| │ #█ |
| │ █ # |
| │ ██ ## |
| ┤ ██ #|
| │ ██ #|
| │ ██ |
| │ ██ |
| │██ |
───┬────|────┬────┬────┬────█────┬────┬────┬───|┬──▸
| ██│ |
-1 ██ │ 1
| ██ │
| ██ │
| ██ ┤
| ██ │
| █ │
| ██ │
| █ │
| █ ┤
| █ │
| █ │
|█ │
|█ │
█ ┤
-pi/2 -█--------------------
│
Arkustangens:
Arkuskotangens:
█ f(x)=atan(x*.1)*10
# g(x)=acot(x*.1)*10
▲
│
###--------------------------------------------------------------------------- pi
######### │
###### │
#### │
## │
### ┤
# │
## │
# │
## │
# ┤
# │
#│
#
│#
┤ #
│ # █████████-- pi/2
│ # ████████
│ # █████
│ ## ████
┤ # ██
│ ##█
│ ██ ###
│ █ ###
│ ██ ####
┤ █ #######
│ █ ############
│ █ ###
│█
─┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────█────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬──▸
█┤
█ │
█ │
█ │
██ │
█ ┤
██ │
██ │
██ │
████ │
█████ ┤
████████ │
██████------------------------------------------------------------------------ -pi/2
│
Sinus hyperbolicus:*
Kosinus hyperbolicus:
Tangens hyperbolicus:
Eigenschaften:
Ihre Umkehrfunktionen heißen Areasinus, Areakosinus und Areatangens.
Aufgabe 1: Welche der Abbildungen sind bijektiv
Aufgabe 2: Es sei . Dann gilt für
Aufgabe 3: Welche der folgenden Funktionen sind stetig
Aufgabe 4: Welche der Abbildungen sind monoton
Aufgabe 5: Es sei . Dann gilt für
Ein Auto fährt in der Zeit von nach .
Fährt das Auto mit einer konstanten Geschwindigkeit , so gilt:
mit erhalten wir:
Für nicht konstante Geschwindigkeit gilt:
Durchschnittsgeschwindigkeit auf :
Durchschnittsgeschwindigkeit während der Zeit :
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt :
Der Differenzenquotient beschreibt:
Der Grenzwert
Der Grenzwert muss nicht für jede Funktion existieren.
Eine Funktion heißt differenzierbar in falls der Grenzwert
existiert. Ist für alle differenzierbar, so heißt die (erste) Ableitung von .
Sind differenzierbar, so sind und differenzierbar und es gilt:
- Summenregel:
- Produktregel:
- Quotientenregel:
Spezialfall:
Ist:
- in differenzierbar
- in differenzierbar
So ist:
in differenzierbar und es gilt:
Sei differenzierbar und habe die Umkehrfunktion . Dann gilt:
Ableiten mit der Kettenregel ergibt:
Ist , so ist die Umkehrabbildung in differenzierbar und es gilt:
Diese Ableitungen müssen Sie auswendig wissen:
Die Ableitungen sollten Sie kennen:
Differenzierbarkeit in bedeutet, dass für :
d.h. verhält sich nahe wie ein lineares Polynom. Genauer gilt:
Ist in differenzierbar, dann gibt es eine Funktion mit:
und .
Seien zwei differenzierbare Funktionen mit .
Dann ist vom Typ .
Für gilt:
und daher:
Für unbestimmte Grenzwerte der Form , oder gibt es folgendes Hilfsmittel:
Seien differenzierbar mit:
- oder
Dann gilt:
wenn der zweite Grenzwert existiert.
Beispiele:
Anwendung:
- Parallaxe eines Sternes in Winkelsekunden
- Abstand Stern Erde in Parsec,
Die erste Parallaxe wurde 1838 am Stern von F.W. Bessel mit gemessen.
- Wie weit ist von der Erde einfernt?
- Wie genau ist das Ergebnis?
Ist die Ableitung einer Funktion differenzierbar, so heißt:
die zweite Ableitung von .
Die -te Ableitung ist dann:
und die -Ableitung:
Ableitungen nach der Zeit werden oft mit und bezeichnet.
Beispiele:
Ausgehend von dem Differenzenquotienten einer differenzierbaren Funktion :
nutzt man manchmal für ihre Ableitung die Notationen:
Für eine Funktion heißt ein Punkt :
- globales Maximum, falls
- lokales Maximum, falls
- globales Minimum, falls
- lokales Minimum, falls
Das kann beliebig klein gewählt werden.
Beispiele:
f(x)=(1/(1+abs(x*.2))*cos(x*.2))*20
▲
│
█
█
█
█│█
█│█
█┤█
█ │ █
█ │ █
█ │ █
█ │ █
█ ┤ █
█ │ █
█ │ █
█ │ █
█ │ █
█ ┤ █
█ │ █
█████ █ │ █ █████
██ ███ █ │ █ ███ ██
███ █ █ │ █ █ ███
██───┬────┬────┬██──┬────┬────┬─█──┬────┼────┬──█─┬────┬────┬──██┬────┬────┬───██
█ █ │ █ █
█ █ │ █ █
██ █ │ █ ██
██ ██ │ ██ ██
████ ┤ ████
│
f(x)=sin(x*0.2)*10
▲
│
████ ┤ ███ ███
█ █ │ █ █ █
█ █ │ █ █ █
█ █ │ █ █ █
█ █ │ █ █ █
█ █ ┤ █ █ █
█ █ │ █ █ █
█ █ │ █ █ █
█ █ │█ █ █
█ █ █ █ █
┬────┬──█─┬────┬────┬───█┬────┬────┬────█────┬────┬────┬█───┬────┬────┬─█──┬────▸
█ █ █ █ █
█ █ █│ █ █
█ █ █ │ █ █
█ █ █ │ █ █
█ █ █ ┤ █ █
█ █ █ │ █ █
█ █ █ │ █ █
█ █ █ │ █ █
█ █ █ │ █ █
███ ███ ┤ ████
│
f(x)=((x*.1-1)*(x*.1+1)*x*.1)*10
▲
│
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤ █
███ │ █
█ ██ │ █
█ █ │ █
█ █│ █
───┬────█────┬────█────┬────█────┬───▸
█ │█ █
█ │ █ █
█ │ ██ █
█ │ ███
█ ┤
█ │
█ │
█ │
█ │
█ ┤
█ │
█ │
█ │
█ │
█ ┤
█ │
█ │
█ │
█ │
┤
Notwendiges Kriterium:
Ist lokales Extremum der differenzierbaren Funktion , dann gilt:
Hinreichendes Kriterium:
Ist zweimal differenzierbar mit , dann ist :
- lokales Minimum, falls
- lokales Maximum, falls
Kritische Punkte für ein (lokales) Extremum von sind die Nullstellen von und die Randpunkte .
Für ein globales Extremum muss man alle kritischen Punkte durchprobieren und nach dem größten / kleinsten Wert suchen.
Sind aufeinander folgende kritische Punkte mit:
Dann ist ein lokales Maximum.
Auf ein lokales Minimum folgt immer ein lokales Maximum und umgekehrt.
Nullstelle von :
Nebenrechnung 1:
Nebenrechnung 2:
Funktionsgraph:
f(x)=x**x 0.03,10 10,35 81,41 0 0 0
▲
│
│
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ █
│ █
│ █
┤ █
│ █
│ ██
│ █
│ ██
┤ █
│ ██
│ ██
│ ███
│ ███
x1 ---# ███
│█ ████
│ ████ ██████
│ ███████#████████
│ |
┤ |
│ |
│ |
│ |
│ |
┬────┬────0────┬────┬──|─┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬────┬──▸ ∞
│ |
│ x2
│
│
┤
Mittelwertsatz:
Ist differenzierbar, dann gibt es ein mit:
Satz von Rolle:
Ist stetig und in differenzierbar, und gilt , dann gibt es ein mit .
Anwendung:
Alltagsrelevante Anwendungen finden sich häufig, wenn man nur Mittelwerte einer Größe messen kann, aber eigentlich an Momentanwerten interessiert ist.
Eine differenzierbare Funktion ist:
- konstant, falls
- monoton wachsend, falls
- monoton fallend, falls
- streng monoton wachsend, falls
- streng monoton fallend, falls
Achtung: Das gilt nur für vollständig definierte Intervalle!
mit ist bspw. nicht bei definiert, daher gelten auch nicht obige hinreichende Bedingungen für die Monotonie.
Sei eine Funktion. Eine Strecke welche zwei Punkte und mit des Graphen von verbindet, heißt Sekante des Graphen.
Eine Funktion heißt:
- konvex, falls jede Sekante oberhalb
- konkav, falls jede Sekante unterhalb
des Graphen von verläuft.
Ist zweimal differenzierbar, so ist :
- konvex, falls
- konkav, falls